넓이 조건 함수 결정

점 ${\mathrm{A}} ( t , f ( t ) )$에서 $x$축에 내린 수선의 발은 ${\mathrm{B}} ( t , 0 )$이고 점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 수직인 직선의 방정식 $\displaystyle y = - \frac{1}{f' ( t )} ( x - t ) + f ( t )$가 $x$축과 만나는 점은 ${\mathrm{C}} ( f' ( t ) f ( t ) + t , 0 )$이다. $\displaystyle \triangle {\mathrm{ABC}} = \frac{1}{2} \left| {f ( t ) f' ( t ) f ( t )} \right|$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left| {\{ f ( t ) \} ^{2} f' ( t )} \right|$ $\displaystyle = \frac{1}{2} {\{ f ( t ) \} ^{2} f' ( t ) ( \because f' ( x ) > 0 )}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( e ^{3t} - 2 e ^{2t} + e ^{t} )$ 따라서 $f' ( t ) ( f ( t ) ) ^{2} = e ^{t} ( e ^{t} - 1 ) ^{2}$ 양변을 적분하면 $\displaystyle \frac{1}{3} f ( t ) ^{3} = \frac{1}{3} ( e ^{t} - 1 ) ^{3} + C$이고 $f ( 0 ) = 0$에서 $C = 0$ $\{ f ( t ) \} ^{3} = ( e ^{t} - 1 ) ^{3}$ $\therefore f ( t ) = e ^{t} - 1$ $y = f ( x )$와 $x$축 및 직선 $x = 1$로 둘러싸인 부분의　넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{1} ( e ^{x} - 1 ) dx = [ e ^{x} - x ] _{0} ^{1}$$= e - 1 - 1$$= e - 2$