넓이 조건 곡선 최소거리

구하려고 하는 부분의 넓이는 $( \text{선분} OB \text{와} \text{포물선으로} \text{둘러싸인} \text{도형} )$ $- ( \text{선분} OA \text{와} \text{포물선으로} \text{둘러싸인} \text{도형} )$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{6} t ^{3} - \frac{1}{6} s ^{3}$이다. ($\because$포물선과 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle \frac{1}{6} | a | ( \beta - \alpha ) ^{3}$) 이 값이 $k$이므로 $( s , t )$가 그리는 도형 $C$의 방정식은 $x ^{3} - y ^{3} = - 6 k$ $y ^{3} = x ^{3} + 6 k$ $\cdots$ ① 곡선 $C$위의 점 중에서 점 $( 1 , 0 )$과의 거리가 최소인 점의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{2}{3}$이려면 그림에서와 같이 $\displaystyle x = \frac{2}{3}$인 그래프 위의 점에서 접선과 수직인 직선이 $( 1 , 0 )$을 지나야 한다. $\displaystyle \frac{2}{3}$ $y ^{3} = x ^{3} + 6 k$

①의 식을 미분하면 $\displaystyle 3 y ^{2} y' = 3 x ^{2} , y' = \frac{x ^{2}}{y ^{2}}$ $\displaystyle x = \frac{2}{3}$에서 $y = a$ 라 두면 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{4}{9 a ^{2}}$ 따라서 접선에 수직인 접선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{9 a ^{2}}{4}$ 직선의 식은 $\displaystyle y - a = - \frac{9}{4} a ^{2} ( x - \frac{2}{3} )$ $( 1 , 0 )$을 지나므로 $\displaystyle - a = - \frac{9}{4} a ^{2} \times \frac{1}{3}$ $a \neq 0$ 이므로 $\displaystyle a = \frac{4}{3}$ $\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right) ^{3} = \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} + 6 k$ $\displaystyle \therefore 6 k = \frac{56}{27}$, $\displaystyle k = \frac{28}{81}$ $\therefore p + q = 109$

(다른 풀이1) $y ^{3} = x ^{3} + 6 k$ $\cdots$ ① $\displaystyle y = \left( x ^{3} + 6 k \right) ^{\frac{1}{3}}$ 곡선 $C$위의 점 중에서 점 $( 1 , 0 )$과의 거리가 최소인 점의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{2}{3}$이려면 그림에서와 같이 $\displaystyle x = \frac{2}{3}$인 그래프 위의 점에서 접선과 수직인 직선이 $( 1 , 0 )$을 지나야 한다. $\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle y = ( x ^{3} + 6 k ) ^{\frac{1}{3}}$

$\displaystyle f ( x ) = \left( x ^{3} + 6 k \right) ^{\frac{1}{3}}$ 라 두면 $\displaystyle f ( \frac{2}{3} ) = \left\{ ( \frac{2}{3} ) ^{3} + 6 k \right\} ^{\frac{1}{3}}$ $\displaystyle f' ( x ) = \frac{1}{3} \left( x ^{3} + 6 k \right) ^{- \frac{2}{3}} \times ( 3 x ^{2} ) = x ^{2} \left( x ^{3} + 6 k \right) ^{- \frac{2}{3}}$ $\displaystyle f' ( \frac{2}{3} ) = ( \frac{2}{3} ) ^{2} \left\{ ( \frac{2}{3} ) ^{3} + 6 k \right\} ^{- \frac{2}{3}}$ $\displaystyle \left\{ ( \frac{2}{3} ) ^{3} + 6 k \right\} ^{\frac{1}{3}} = a$라 두면 $\displaystyle f ( \frac{2}{3} ) = a$, $\displaystyle f' ( \frac{2}{3} ) = \frac{4}{9} a ^{- 2} = \frac{4}{9 a ^{2}}$ 따라서 주어진 직선의 기울기를 $m$ 이라 두면 $\displaystyle f' ( \frac{2}{3} ) \times m = - 1$ $\displaystyle \therefore m = - \frac{9 a ^{2}}{4}$ 따라서 직선의 식은 $\displaystyle y - a = - \frac{9}{4} a ^{2} ( x - \frac{2}{3} )$ $( 1 , 0 )$을 지나므로 $\displaystyle - a = - \frac{9}{4} a ^{2} \times \frac{1}{3}$ $a \neq 0$ 이므로 $\displaystyle a = \frac{4}{3}$ $\displaystyle \left\{ ( \frac{2}{3} ) ^{3} + 6 k \right\} ^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}$ $\displaystyle ( \frac{2}{3} ) ^{3} + 6 k = \frac{64}{27}$ $\displaystyle \therefore 6 k = \frac{56}{27}$, $\displaystyle k = \frac{28}{81}$ $\therefore p + q = 109$

(다른 풀이2) 곡선 $C$ 위의 점 $( x , y )$에서 $( 1 , 0 )$까지의 거리를 $l$이라고 하면 $l ^{2} = ( x - 1 ) ^{2} + y ^{2}$이다. $\displaystyle y = ( x ^{3} + 6 k ) ^{\frac{1}{3}}$을 대입하면 ($\because \text{①}$) $\displaystyle l ^{2} = ( x - 1 ) ^{2} + ( x ^{3} + 6 k ) ^{\frac{2}{3}}$이다. $\displaystyle f ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} + ( x ^{3} + 6 k ) ^{\frac{2}{3}}$라고 하면 $l ^{2}$이 최소일 때 $f ( x )$도 최소이므로 주어진 조건에 의해서 $\displaystyle f' \left( \frac{2}{3} \right) = 0$이다. $\displaystyle f' ( x ) = 2 ( x - 1 ) + \frac{2}{3} ( x ^{3} + 6 k ) ^{- \frac{1}{3}} \cdot ( 3 x ^{2} )$ $\displaystyle f' \left( \frac{2}{3} \right) = 2 \left( - \frac{1}{3} \right) + \frac{2}{3} \left( 6 k + \frac{8}{27} \right) ^{- \frac{1}{3}} \cdot 3 \cdot \frac{4}{9} = 0$에서 $\displaystyle k = \frac{28}{81}$이다.