넓이 이등분 조건

[출제의도] 정적분을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

$\displaystyle - \frac{1}{2} k ^{2}$ $y = f \left( x \right)$ $\displaystyle y = \frac{1}{2} k ^{2}$

(i) $x < 0$일 때, $\displaystyle y = x ^{2} - \frac{1}{2} k ^{2}$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} k ^{2}$의 교점의 $x$좌표는 $- k$ ($A$의 넓이)$\displaystyle = \int _{- k} ^{0} {\left\{ \frac{1}{2} k ^{2} - \left( x ^{2} - \frac{1}{2} k ^{2} \right) \right\} dx}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{3} x ^{3} + k ^{2} x \right] _{- k} ^{0} = \frac{2}{3} k ^{3}$ (ii) $x \geq 0$일 때, 직선 $\displaystyle y = x - \frac{1}{2} k ^{2}$과 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} k ^{2}$의 교점의 $x$좌표는 $k ^{2}$ ($B$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \times k ^{2} \times k ^{2} = \frac{1}{2} k ^{4}$ $A$와 $B$의 넓이가 같으므로 $\displaystyle \frac{2}{3} k ^{3} = \frac{1}{2} k ^{4}$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{4}{3}$