넓이 차 자연수

$\displaystyle A = \int _{0} ^{k} \left( kx - x ^{2} \right) dx$, $\displaystyle B = \int _{k} ^{3} \left( x ^{2} - kx \right) dx$이므로 $B - A$$\displaystyle = \int _{k} ^{3} \left( x ^{2} - kx \right) dx - \int _{0} ^{k} \left( kx - x ^{2} \right) dx$ $\displaystyle = \int _{k} ^{3} {} \left( x ^{2} - kx \right) dx + \int _{0} ^{k} {} \left( x ^{2} - kx \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} \left( x ^{2} - kx \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{1}{2} kx ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{3}$ $\displaystyle = 9 - \frac{9}{2} k$ 이때 $0 < k < 3$이므로 $\displaystyle - \frac{27}{2} < - \frac{9}{2} k < 0$, $\therefore$ $\displaystyle - \frac{9}{2} < 9 - \frac{9}{2} k < 9$ $B - A$의 값, 즉 $\displaystyle 9 - \frac{9}{2} k$가 자연수가 되어야 하므로 가능한 자연수를 $n$이라 하면 $\displaystyle 9 - \frac{9}{2} k = n$ $( n = 1$, $2$, $3$, $\cdots$, $8 )$ 이때 $\displaystyle k = \frac{2}{9} \left( 9 - n \right)$이므로 만족하는 모든 $k$의 값은 $\displaystyle \frac{2}{9}$, $\displaystyle \frac{4}{9}$, $\displaystyle \frac{6}{9}$, $\cdots$ , $\displaystyle \frac{16}{9}$ 따라서 모든 $k$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{2}{9} + \frac{4}{9} + \frac{6}{9} + \cdots + \frac{16}{9} = 8$