공통수학2명제AI기본 문제 (3점 중반)

네 실수의 곱의 합의 범위

문제

네 실수 aa, bb, cc, dd가 a2+b2=5a ^{2} + b ^{2} = 5, c2+d2=20c ^{2} + d ^{2} = 20을 만족시킨다. ac+bdac + bd의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, M−mM - m의 값은? [3점] ①1010②1515③2020④2525⑤3030

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

코시-슈바르츠 부등식에 의하여 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2( a ^{2} + b ^{2} ) ( c ^{2} + d ^{2} ) \geq ( ac + bd ) ^{2} 5×20≥(ac+bd)25 \times 20 \geq ( ac + bd ) ^{2}이므로 (ac+bd)2≤100( ac + bd ) ^{2} \leq 100 −10≤ac+bd≤10- 10 \leq ac + bd \leq 10 등호는 ca=db\displaystyle \frac{c}{a} = \frac{d}{b}일 때 성립하며, 예를 들어 (a,b,c,d)=(1,2,2,4)( a , b , c , d ) = ( 1 , 2 , 2 , 4 )이면 ac+bd=10ac + bd = 10, (1,2,−2,−4)( 1 , 2 , - 2 , - 4 )이면 ac+bd=−10ac + bd = - 10이다. 따라서 M=10M = 10, m=−10m = - 10이므로 M−m=20M - m = 20 ③

태그

#코시-슈바르츠 부등식#최댓값#최솟값

비슷한 문제 더 보기

공통수학2 문제 모음공통수학2 명제 문제 모음내신 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로