네 점까지의 거리의 합이 최소인 직선

실마리: 네 거리는 모두 분모가 $\displaystyle \sqrt{2}$이므로 분자의 절댓값의 합만 살핀다. 네 점과 직선 $l$ 사이의 거리는 차례로 $\displaystyle \frac{\left| k + 1 \right|}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \frac{\left| k + 7 \right|}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \frac{\left| k + 5 \right|}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \frac{\left| k \right|}{\sqrt{2}}$ 거리의 합을 $f ( k )$라 하면 $\displaystyle \sqrt{2} f ( k ) = \left| k + 7 \right| + \left| k + 5 \right| + \left| k + 1 \right| + \left| k \right|$ $\left| k + 7 \right| + \left| k \right| \geq 7$이고 등호는 $- 7 \leq k \leq 0$일 때 성립한다. $\left| k + 5 \right| + \left| k + 1 \right| \geq 4$이고 등호는 $- 5 \leq k \leq - 1$일 때 성립한다. 두 등호가 동시에 성립하는 $- 5 \leq k \leq - 1$에서 $f ( k )$는 최솟값 $\displaystyle \frac{11}{\sqrt{2}} = \frac{11 \sqrt{2}}{2}$를 갖는다. 이 범위는 직선 $l$이 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{A}$를 각각 지나는 두 직선 $x + y - 5 = 0$, $x + y - 1 = 0$ 사이에 있을 때이고, 이때 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$는 $l$의 한쪽, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{D}$는 다른 쪽에 있어 거리의 합이 일정하다. 따라서 조건을 만족시키는 정수 $k$는 $- 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1$이므로 그 개수는 $5$이다.