대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

네 항 주기 수열의 합

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $\displaystyle \begin{cases} a _{1} = 1 , a _{2} = 3 , a _{3} = 5 , a _{4} = 7 \\ a _{k + 4} = 2 a _{k} ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{cases}$ 으로 정의될 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} a _{k}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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496

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해설

$a _{1} = 1 , a _{2} = 3 , a _{3} = 5 , a _{4} = 7$ 이고 $a _{k + 4} = 2 a _{k}$ 이므로 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} = 16$ , $a _{5} + a _{6} + a _{7} + a _{8} = 2 ( a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} ) = 2 \times 16$ , $a _{9} + a _{10} + a _{11} + a _{12} = 2 ^{2} ( a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} ) = 2 ^{2} \times 16$ , $\vdots$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} a _{k} = 16 ( 1 + 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + 2 ^{4} ) = 496$

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