공통수학1나머지정리와 인수분해AI기본 문제 (3점 중반)

나눗셈 등식의 계수비교 빈칸

문제

다음은 다항식 x3+2x2−3x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 을 x2+1x ^{2} + 1 로 나누었을 때의 몫과 나머지를 항등식의 성질을 이용하여 구하는 과정이다.

몫을 x+ax + a, 나머지를 bx+cbx + c 라 하면 x3+2x2−3=(x2+1)(x+a)+bx+cx ^{3} + 2 x ^{2} - 3 = ( x ^{2} + 1 ) ( x + a ) + bx + c 우변을 전개하여 정리하면 x3+ax2+(b+1)x+(a+c)x ^{3} + ax ^{2} + ( b + 1 ) x + ( a + c ) 이 등식은 xx 에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면 a=a = (가), b=b = (나), c=c = (다)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수의 합은? [3점] ①−6- 6②−5- 5③−4- 4④−3- 3⑤−2- 2

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③

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해설

(x2+1)(x+a)+bx+c=x3+ax2+x+a+bx+c=x3+ax2+(b+1)x+(a+c)( x ^{2} + 1 ) ( x + a ) + bx + c = x ^{3} + ax ^{2} + x + a + bx + c = x ^{3} + ax ^{2} + ( b + 1 ) x + ( a + c ) x3+2x2+0⋅x−3x ^{3} + 2 x ^{2} + 0 \cdot x - 3 과 계수를 비교하면 a=2a = 2, b+1=0b + 1 = 0, a+c=−3a + c = - 3 a=2a = 2, b=−1b = - 1, c=−5c = - 5 검산: (x2+1)(x+2)+(−x−5)=x3+2x2+x+2−x−5=x3+2x2−3( x ^{2} + 1 ) ( x + 2 ) + ( - x - 5 ) = x ^{3} + 2 x ^{2} + x + 2 - x - 5 = x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 따라서 (가)+(나)+(다)=2+(−1)+(−5)=−4= 2 + ( - 1 ) + ( - 5 ) = - 4 이므로 답은 ③이다.

태그

#항등식#계수비교법#빈칸 추론

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