공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

나누어떨어짐 과정 빈칸

문제

다음은 xx에 대한 다항식 ax9+bx8+1ax ^{9} + bx ^{8} + 1이 다항식 x2−x−1x ^{2} - x - 1로 나누어떨어지기 위한 정수 aa, bb의 값을 구하는 과정의 일부이다.

방정식 x2−x−1=0x ^{2} - x - 1 = 0의 두 근을 pp, qq라 하면 p+q=1p + q = 1, pq=−1p q = - 1 이다. 따라서 p2+q2=□(가)p ^{2} + q ^{2} = {\square {( \text{가} )}} , p4+q4=□(나)p ^{4} + q ^{4} = {\square {( \text{나} )}}이다. xx에 대한 다항식 ax9+bx8+1ax ^{9} + bx ^{8} + 1이 x2−x−1x ^{2} - x - 1로 나누어떨어지면 ap9+bp8=−1ap ^{9} + bp ^{8} = - 1……$\text{①}$ aq9+bq8=−1aq ^{9} + bq ^{8} = - 1……$\text{②}$ 이다.①,②의 양변에 각각 q8q ^{8}, p8p ^{8}을 곱하여 정리하면 ap+b=−q8ap + b = - q ^{8}……③aq+b=−p8aq + b = - p ^{8}……④이다.③에서④를 뺀 식으로부터 a(p−q)=p8−q8a ( p - q ) = p ^{8} - q ^{8}이고, p≠qp \ne q이므로 a=p8−q8p−q\displaystyle a = \frac{p ^{8} - q ^{8}}{p - q}이다. 따라서 a=□(다)a = {\square {( \text{다} )}}이다. ⋮\vdots

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 rr, ss, tt라 할 때, r+s+tr + s + t의 값은? [4점] ①2727②2929③3131④3333⑤3535

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③

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해설

[출제의도] 다항식의 나눗셈 추론하기 p+q=1p + q = 1, pq=−1pq = - 1이므로 p2+q2=(p+q)2−2pq=3p ^{2} + q ^{2} = ( p + q ) ^{2} - 2 pq = 3이고 p4+q4=(p2+q2)2−2p2q2=7p ^{4} + q ^{4} = ( p ^{2} + q ^{2} ) ^{2} - 2 p ^{2} q ^{2} = 7이다. 따라서 r=3r = 3, s=7s = 7이다. a=p8−q8p−q=(p4+q4)(p2+q2)(p+q)\displaystyle a = \frac{p ^{8} - q ^{8}}{p - q} = ( p ^{4} + q ^{4} ) ( p ^{2} + q ^{2} ) ( p + q )=7×3×1= 7 \times 3 \times 1=21= 21 이므로 t=21t = 21이다. 따라서 r+s+t=31r + s + t = 31이다. <참고> xx에 대한 다항식 ax9+bx8+1ax ^{9} + bx ^{8} + 1이 x2−x−1x ^{2} - x - 1로 나누어떨어지므로 ax9+bx8+1=(x2−x−1)Q(x)ax ^{9} + bx ^{8} + 1 = ( x ^{2} - x - 1 ) Q ( x )의 꼴로 나타낼 수 있다. 양변에 x=px = p, x=qx = q를 각각 대입하면①, ②를 얻을 수 있다. ①, ②의 양변에 각각 q8q ^{8}, p8p ^{8}을 곱하면 ap(pq)8+b(pq)8=−q8ap ( pq ) ^{8} + b ( pq ) ^{8} = - q ^{8}이고 aq(pq)8+b(pq)8=−p8aq ( pq ) ^{8} + b ( pq ) ^{8} = - p ^{8}이므로 pq=−1pq = - 1을 대입하여 정리하면 ③, ④를 얻을 수 있다.

태그

#근과 계수의 관계#빈칸 추론

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