나누어떨어질 조건

[출제의도] 인수정리 이해하기 다항식 $2 x ^{3} + ax ^{2} + bx + 6$이 $x ^{2} - 1$로 나누어떨어지므로 $2 x ^{3} + ax ^{2} + bx + 6 = ( x ^{2} - 1 ) Q ( x )$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이다. ($Q ( x )$는 다항식) $x ^{2} - 1 = \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)$이므로 ㉠의 양변에 ⅰ) $x = - 1$을 대입하면 $- 2 + a - b + 6 = 0$이므로 $a - b = - 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ⅱ) $x = 1$을 대입하면 $2 + a + b + 6 = 0$이므로 $a + b = - 8$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에 의해 $a = - 6$, $b = - 2$이다. 따라서 $ab = 12$이다. [다른풀이] 다항식 $2 x ^{3} + ax ^{2} + bx + 6$이 $x ^{2} - 1$로 나누어떨어지므로 $2 x ^{3} + ax ^{2} + bx + 6$을 $x ^{2} - 1$로 나눈 몫을 $Q ( x )$라 하면 $2 x ^{3} + ax ^{2} + bx + 6 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) Q ( x )$가 된다. 그러므로 조립제법을 이용하면

$a + b + 8 = 0 , b + 2 = 0$이므로 $a = - 6 , b = - 2$이다. 따라서 $ab = 12$이다.