공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

나머지정리를 이용한 극값의 합

문제

함수 f(x)=x+(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)f ( x ) = x + ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )에 대하여 {f(x)}2−x2f(x)\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2} f ( x )를 f(x)−xf ( x ) - x로 나눈 나머지를 r(x)r ( x )라 하자. 함수 r(x)r ( x )의 극댓값과 극솟값의 합은? [4점] ①38\displaystyle \frac{3}{8}②49\displaystyle \frac{4}{9}③512\displaystyle \frac{5}{12}④316\displaystyle \frac{3}{16}⑤427\displaystyle \frac{4}{27}

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⑤

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해설

g(x)=f(x)−xg ( x ) = f ( x ) - x라 하자. {f(x)}2−x2f(x)\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2} f ( x )를 f(x)−xf ( x ) - x로 나눈 나머지를 r(x)r ( x )라 하자. 이를 g(x)g ( x )로 표현하면, (g(x)+x)2−x2(g(x)+x)=g(x)Q(x)+r(x)( g ( x ) + x ) ^{2} - x ^{2} ( g ( x ) + x ) = g ( x ) Q ( x ) + r ( x )이다. (단, Q(x)Q ( x )는 몫 r(x)r ( x )는 나머지 r(x)r ( x )의 차수는 33차 이하)이므로 r(x)=−x3+x2r ( x ) = - x ^{3} + x ^{2}이다. 이제 극댓값과 극솟값을 구하자. r′(x)=x(−3x+2)r' ( x ) = x ( - 3 x + 2 )이므로 x=0x = 0에서 극솟값 00을 가지고 x=23\displaystyle x = \frac{2}{3}에서 극댓값 427\displaystyle \frac{4}{27}을 가진다. 따라서 두 개의 합은 427\displaystyle \frac{4}{27}이다.

태그

#나머지정리#다항식의 나눗셈#극값

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