공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지정리

문제

다항식 P(x)P \left( x \right)는 x+2x + 2로 나누어떨어지고, P(x)P \left( x \right)를 x−4x - 4로 나누었을 때의 나머지가 12\mathrm{12}이다. P(x)P \left( x \right)를 x2−2x−8x ^{2} - 2 x - 8로 나누었을 때의 나머지를 R(x)R \left( x \right)라 할 때, R(1)R \left( 1 \right)의 값은? [3점] ①5\mathrm{5}②6\mathrm{6}③7\mathrm{7}④8\mathrm{8}⑤9\mathrm{9}

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②

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해설

다항식 P(x)P \left( x \right)를 x2−2x−8x ^{2} - 2 x - 8로 나누었을 때의 몫을 Q(x)Q \left( x \right)라 하고 나머지 R(x)R \left( x \right)를 ax+ba x + b라 하면 P(x)P \left( x \right)=(x2−2x−8)Q(x)+ax+b= \left( x ^{2} - 2 x - 8 \right) Q \left( x \right) + a x + b =(x+2)(x−4)Q(x)+ax+b= \left( x + 2 \right) \left( x - 4 \right) Q \left( x \right) + a x + b 나머지정리에 의하여 P(−2)=0P \left( - 2 \right) = 0, P(4)=12P \left( 4 \right) = 12이므로 P(−2)=−2a+b=0P \left( - 2 \right) = - 2 a + b = 0, P(4)=4a+b=12P \left( 4 \right) = 4 a + b = 12 두 식을 연립하여 계산하면 a=2a = 2, b=4b = 4 따라서 R(x)=2x+4R \left( x \right) = 2 x + 4이므로 R(1)=6R \left( 1 \right) = 6

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#나머지정리#인수정리

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