대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지 수열의 합

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 을 다음과 같이 정의하자. $\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} 10 ^{k - 1}$ ( $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$ ) $a _{n}$ 을 $3$ 으로 나눈 나머지를 $b _{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{30} b _{n}$ 의 값은? [3점] ① $30$ ② $31$ ③ $32$ ④ $33$ ⑤ $34$

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①

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해설

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $1$ , $11$ , $111$ , $1111$ , $11111$ , $\cdots$ 이때, $a _{n}$ 을 $3$ 으로 나눈 나머지는 차례로 다음과 같다. $1$ , $2$ , $0$ , $1$ , $2$ , $0$ , $1$ , $\cdots$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{30} b _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} 3 = 30$ 이다.

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