나머지 조건과 자연수 근

[출제의도] 이차방정식에서 근과 계수와의 관계를 이해하여 문제 해결하기 $f ( x ) = x ^{2} - ax + b = 0$ 의 두 근을 $\alpha , \beta$라 하면 $\alpha + \beta = a , \alpha \beta = b$이다. $1 \leq \alpha \leq 9 , 1 \leq \beta \leq 9$이므로 $2 \leq \alpha + \beta \leq 18$에서 $2 \leq a \leq 18$이다. 따라서 $a = 5 , 12$이다. (i) $a = 5$일 때, $f ( x ) = x ^{2} - 5 x + b = 0$의 두 근이 $1$이상 $9$이하이므로 $D = 25 - 4 b \geq 0$, $f ( 1 ) = - 4 + b \geq 0$, $f ( 9 ) = 36 + b \geq 0$에서 $\displaystyle 4 \leq b \leq \frac{25}{4}$이다. 따라서 $b = 6$이다. $b = 6$을 대입하면 $x ^{2} - 5 x + 6 = 0$에서 두 근이 $2 , 3$ 이므로 성립한다. (ⅱ) $a = 12$일 때, $f ( x ) = x ^{2} - 12 x + b = 0$의 두 근이 $1$이상 $9$이하이므로 $D = 12 ^{2} - 4 b \geq 0$, $f ( 1 ) = - 11 + b \geq 0$, $f ( 9 ) = - 27 + b \geq 0$에서 $27 \leq b \leq 36$이다. 따라서 $b = 27 , 34$이다. $a = 12 , b = 27$이면 $x ^{2} - 12 x + 27 = 0$에서 두 근이 $3 , 9$이므로 성립한다. $a = 12 , b = 34$이면 $x ^{2} - 12 x + 34 = 0$에서 두 근이 $\displaystyle 6 \pm \sqrt{2}$ 이므로 성립하지 않는다. 따라서 $( a , b ) = ( 5 , 6 ) , ( 12 , 27 )$이다. ∴ $a + b$의 최댓값은 $39$이다.