나머지 함수와 합성함수

[출제의도] 합성함수의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다. 함수 $g ( x )$는 자연수 $x$를 $4$로 나눈 나머지이므로 함수 $g ( x )$의 치역은 $\left\{ 0 , 1 , 2 , 3 \right\}$이다. ⅰ) $m$$= 1$인 경우, 함수 $f ( x ) = x$이므로 합성함수 $( g \circ f ) ( x ) = g ( x )$이다. 그러므로 합성함수 $( g \circ f ) ( x )$의 치역은 $\left\{ 0 , 1 , 2 , 3 \right\}$이다. ⅱ) $m$$= 2$인 경우, 함수 $f ( x ) = 2 x$이므로 합성함수 $( g \circ f ) ( x ) = ( 2 x \text{를} 4 \text{로} \text{나눈} \text{나머지} )$이다. 그런데 $2 x$가 $2$의 배수이고 $2$의 배수를 $4$로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $2$이므로 합성함수 $( g \circ f ) ( x )$의 치역은 $\left\{ 0 , 2 \right\}$이다. ⅲ) $m$$= 3$인 경우, 함수 $f ( x ) = 3 x$이므로 합성함수 $( g \circ f ) ( x ) = ( 3 x \text{를} 4 \text{로} \text{나눈} \text{나머지} )$이다. 그런데 $3 x$는 $3$의 배수이고 $3$의 배수를 $4$로 나눈 나머지는 $0$, $1$, $2$, $3$이므로 합성함수 $( g \circ f ) ( x )$의 치역은 $\left\{ 0 , 1 , 2 , 3 \right\}$이다. ⅳ) $m$$= 4$인 경우, 함수 $f ( x ) = 4 x$이므로 합성함수 $( g \circ f ) ( x ) = ( 4 x \text{를} 4 \text{로} \text{나눈} \text{나머지} )$ 이다. 그런데 $4 x$가 항상 $4$의 배수이므로 $4$로 나눈 나머지는 $0$이다. 즉, 합성함수 $( g \circ f ) ( x )$의 치역은 $\left\{ 0 \right\}$이다. 이처럼 $m$이 $4$의 배수가 아닌 경우에는 치역의 원소의 개수가 $2$이상이다. 하지만 $m = 4 , 8 , 12 , 16 , \cdots$과 같이 $m$이 $4$의 배수인 경우에는 합성함수 $( g \circ f ) ( x )$의 치역은 $\left\{ 0 \right\}$이다. 따라서 치역의 원소의 개수가 $1$이 되도록 하는 자연수 $m$의 최솟값은 $4$이다.