내접원의 반지름과 한 각으로 넓이 구하기

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$라 하면 $\displaystyle S = \frac{1}{2} bc \sin \mathrm{A} = \frac{\mathit{\sqrt{3}}}{4} bc$ 내접원의 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times ( 7 + b + c )$ 두 식에서 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} bc = \frac{\sqrt{3}}{2} ( 7 + b + c )$ $bc = 2 ( b + c ) + 14$ ……㉠ 코사인법칙에서 $49 = b ^{2} + c ^{2} - bc = ( b + c ) ^{2} - 3 bc$ ……㉡ $b + c = t$라 하고 ㉠을 ㉡에 대입하면 $49 = t ^{2} - 3 ( 2 t + 14 )$ $t ^{2} - 6 t - 91 = 0$, $( t - 13 ) ( t + 7 ) = 0$ $t > 0$이므로 $t = 13$, $bc = 2 \times 13 + 14 = 40$ 따라서 $\displaystyle S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 40 = 10 \sqrt{3}$ 답은 ③