내접원과 접선의 길이로 둘레 구하기

헤론의 정리에 의하면 삼각형 $ABC$의 면적 $S$은 $\displaystyle S = \sqrt{s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c )}$ (단, $\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}$) 로 나타낼 수 있다. 주어진 조건으로부터 $s = 8$이므로 $\displaystyle S = \sqrt{8 \cdot ( 8 - 6 ) \cdot ( 8 - 7 ) \cdot ( 8 - 3 )} = 4 \sqrt{5}$ 또한, 내접원의 반지름을 $r$이라 하면 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \left( a + b + c ) r \right.$ 이므로 $\displaystyle r = \frac{4 \sqrt{5}}{9}$이다. 한편, 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로

그림에서 $\displaystyle \overline{BF} = \overline{DH}$, $\displaystyle \overline{EG} = \overline{EH}$ 따라서 삼각형 $BDE$의 둘레의 길이는 $\displaystyle 2 \cdot \overline{BF}$이다. $\displaystyle \overline{BF} = a$라 하면 $\displaystyle \overline{FC} = \overline{IC} = 7 - a$, $\displaystyle \overline{GA} = \overline{AI} = 6 - a$ $\displaystyle \overline{AC} = \overline{AI} + \overline{IC} = ( 6 - a ) + ( 7 - a ) = 3$ $\therefore a = 5$ 따라서, 삼각형 $BDE$의 둘레의 길이는 $10$이다.