내접원 넓이 관계 증명

원$O$의 내부에 아래 그림과 같이 $n$개의 원 $O _{1} , O _{2} , \cdots ,$ $O _{n}$이 차례로 외접하고 원$O _{1}$과 원$O _{n}$은 원$O$에 내접해 있다. 원$O , O _{1} , O _{2} , \cdots , O _{n}$의 넓이를 각각 $S , S _{1} , S _{2} ,$$\cdots , S _{n}$이라 할 때, 다음은 $S , S _{1} , S _{2} , \cdots , S _{n}$사이의 관계식 $S =$ 을 증명하는 과정이다. $\cdots$

[증 명] 원 $O , O _{1} , O _{2} , \cdots , O _{n}$의 반지름을 각각 $r , r _{1} , r _{2} , \cdots , r _{n}$이라 하면, $\displaystyle \sqrt{S _{1}} : \sqrt{S} = r _{1} :$ $\displaystyle \sqrt{S _{2}} : \sqrt{S} = r _{2} :$ $\vdots$ $\displaystyle \sqrt{S _{n}} : \sqrt{S} = r _{n} :$ 이다. 그리고, $\displaystyle \frac{\sqrt{S _{1}}}{r _{1}} = \frac{\sqrt{S _{2}}}{r _{2}} = \cdots = \frac{\sqrt{S _{n}}}{r _{n}} = k$라 하면, $\displaystyle \sqrt{S _{1}} = r _{1} k , \sqrt{S _{2}} = r _{2} k , \cdots , \sqrt{S _{n}} = r _{n} k$ 이므로 $S =$ 이다.

위의 증명에서 (나)에 알맞은 것은? [4점]

①$\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} \sqrt{S _{k}}$②$\displaystyle \sqrt{\sum\limits _{{k} = 1} ^{n} S _{k}}$③$\displaystyle \left\{ \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} \sqrt{S _{k}} \right\} ^{2}$④$\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} S _{k}$⑤$\displaystyle 4 \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} S _{k}$