내접사각형 빈칸 추론

$\angle {\mathrm{BPC}} = \theta$라 할 때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} : {\overline{\mathrm{PC}}} : {\overline{\mathrm{BC}}} = 7 : 5 : \sqrt{14}$이므로 삼각형 ${\mathrm{BPC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \theta = \frac{6}{7}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} : {\overline{\mathrm{PC}}} = 7 : 5$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} = 7 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}} = 5 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{CD}}} = 1 : 3$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = l$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = 3 l$ 라 하면 원의 성질에 의하여 삼각형 ${\mathrm{BPC}}$와 삼각형 ${\mathrm{DPA}}$가 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} : {\overline{\mathrm{PC}}} = {\overline{\mathrm{PD}}} : {\overline{\mathrm{PA}}}$ 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} \cdot {\overline{\mathrm{PA}}} = {\overline{\mathrm{PC}}} \cdot {\overline{\mathrm{PD}}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} = 7 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}} = 5 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = l$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = 3 l$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = {\overline{\mathrm{PB}}} + {\overline{\mathrm{AB}}} = 7 k + l$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PD}}} = {\overline{\mathrm{PC}}} + {\overline{\mathrm{CD}}} = 5 k + 3 l$ 이 식을 ㉡에 대입하면 $7 k \times \left( 7 k + l \right) = 5 k \times \left( 5 k + 3 l \right)$ $7 \left( 7 k + l \right) = 5 \left( 5 k + 3 l \right)$ ($\because$ $k \ne 0$) $49 k + 7 l = 25 k + 15 l$, $24 k = 8 l$ $\therefore$ $l = \square {3} k$ 한편 삼각형 ${\mathrm{BPC}}$와 삼각형 ${\mathrm{DPA}}$의 닮음비는 대응변의 길이의 비와 같으므로 닮음비는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}} : {\overline{\mathrm{PA}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = 7 k + l = 7 k + 3 k = 10 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}} = 5 k$ 이므로 닮음비는 $5 k : 10 k = 1 : \square {2}$ 또한 삼각형 ${\mathrm{BPC}}$의 외접원의 반지름의 길이 $R$이라 하면 사인법칙에 의하여 $\displaystyle 2 R = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin \theta}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 삼각형 ${\mathrm{BPC}}$와 삼각형 ${\mathrm{DPA}}$의 닮음비가 $1 : 2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} : {\overline{\mathrm{AD}}} = 1 : 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{AD}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{13}$ ($\because$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 4 \sqrt{13}$) $\displaystyle = 2 \sqrt{13}$ ㉠에서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{6}{7}$이고, $\sin ^{2} \theta$$= 1 - \cos ^{2} \theta$이므로 $\sin ^{2} \theta$$\displaystyle = 1 - \left( \frac{6}{7} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{13}{49}$ 이때 $\theta$는 삼각형의 내각이므로 $\sin \theta > 0$ $\therefore$ $\displaystyle \sin \theta = \sqrt{\frac{13}{49}} = \frac{\sqrt{13}}{7}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{13}$, $\sin \theta$$\displaystyle = \frac{\sqrt{13}}{7}$을 ㉢에 대입하면 $\displaystyle 2 R = \frac{2 \sqrt{13}}{\frac{\sqrt{13}}{7}} = 2 \sqrt{13} \times \frac{7}{\sqrt{13}} = 14$ $\therefore$ $R = \square {7}$ 이상에서 (가) $3$, (나) $2$, (다) $7$이므로 $p = 3$, $q = 2$, $r = 7$ $\therefore$ $p + q + r = 3 + 2 + 7 = 12$