내접 삼각형 변의 길이

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 문제를 해결한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = \overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{10}$이므로 삼각형 $\mathrm{OBC}$는 직각이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle \mathrm{BOC} = \frac{\pi}{2}$이다. $\mathrm{\angle} AOB = \alpha$, $\mathrm{\angle} AOC = \beta$라 하면 두 삼각형 $\mathrm{OAB}$, $\mathrm{OCA}$의 넓이 $S _{1}$, $S _{2}$는 각각 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times \left( \sqrt{10} \right) ^{2} \times \sin \alpha$$= 5 \sin \alpha$ $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \times \left( \sqrt{10} \right) ^{2} \times \sin \beta$$= 5 \sin \beta$ 주어진 조건에서 $3 S _{1} = 4 S _{2}$이므로 $\sin \alpha$$\displaystyle = \frac{4}{3} \mathrm{s} \in \beta$ $\displaystyle \alpha + \beta + \frac{\pi}{2} = 2 \pi$이므로 $\displaystyle \beta = \frac{3}{2} \pi - \alpha$ $\sin \alpha$$\displaystyle = \frac{4}{3} \mathrm{s} \in \left( \frac{3}{2} \pi - \alpha \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{4}{3} \mathrm{c} os \alpha$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1$에서 $\displaystyle \frac{16}{9} \mathrm{c} os ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1$ $\displaystyle \cos ^{2} \alpha = \frac{9}{25}$ $\sin \alpha > 0$이므로 ㉠에서 $\cos \alpha < 0$ 따라서 $\displaystyle \cos \alpha = \mathit{-} \frac{3}{5}$ 코사인법칙에 의하여 구하는 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \overline{\mathrm{OA}} \right) ^{2} + \left( \overline{\mathrm{OB}} \right) ^{2} - 2 \times \overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{OB}} \mathrm{c} os \alpha}$ $\displaystyle = \sqrt{\left( \sqrt{10} \right) ^{2} + \left( \sqrt{10} \right) ^{2} - 2 \left( \sqrt{10} \right) ^{2} \times \left( - \frac{3}{5} \right)}$ $\displaystyle = 4 \sqrt{2}$