공통수학1이차방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내접 정사각형 이차방정식

문제

이차방정식 x2−4x+2=0x ^{2} - 4 x + 2 = 0의 두 실근을 α\alpha, β\beta (α<β\alpha < \beta)라 하자. 그림과 같이 AB‾=α\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \alpha, BC‾=β\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \beta인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 내접하는 정사각형의 넓이와 둘레의 길이를 두 근으로 하는 xx에 대한 이차방정식이 4x2+mx+n=04 x ^{2} + mx + n = 0일 때, 두 상수 m,nm , n에 대하여 m+nm + n의 값은? (단, 정사각형의 두 변은 선분 AB\mathrm{AB}와 선분 BC\mathrm{BC} 위에 있다.)　[4점]

α\alpha β\beta

①−11- 11②−10- 10③−9- 9④−8- 8⑤−7- 7

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⑤

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해설

[출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식 문제 해결하기 근과 계수의 관계에 따라 α+β=4\alpha + \beta = 4, αβ=2\alpha \beta = 2이다. 직각삼각형에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이를 kk라 하면

α:β=α−k:k\alpha : \beta = \alpha - k : k k=αβα+β\displaystyle k = \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta}=12\displaystyle = \frac{1}{2} 이다. 따라서 정사각형의 넓이 k2=14\displaystyle k ^{2} = \frac{1}{4}과 둘레의 길이 4k4 k=2= 2를 두 근으로 하는 이차방정식은 4(x−2)(x−14)=4x2−9x+2=0\displaystyle 4 \left( x - 2 \right) \left( x - \frac{1}{4} \right) = 4 x ^{2} - 9 x + 2 = 0 이다. 따라서 m+n=−9+2=−7m + n = - 9 + 2 = - 7이다. [다른 풀이] 정사각형의 넓이 k2=14\displaystyle k ^{2} = \frac{1}{4}과 둘레의 길이 4k4 k=2= 2를 두 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합이 94\displaystyle \frac{9}{4}이고 곱이 12\displaystyle \frac{1}{2}이므로 x2−94x+12=0\displaystyle x ^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{1}{2} = 0 4x2−9x+2=04 x ^{2} - 9 x + 2 = 0 따라서 m+n=−9+2=−7m + n = - 9 + 2 = - 7이다.

태그

#근과 계수의 관계#도형

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