기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

내적으로 나타낸 원

문제

좌표평면에서 두 점 A(−2,0)\mathrm{A} ( - 2 , 0 ), B(3,3)\mathrm{B} ( 3 , 3 )에 대하여 (OP⃗−OA⃗)∙(OP⃗−2OB⃗)=0\left( \mathrm{\vec{OP}} \mathit{-} \mathrm{\vec{OA}} \right) \bullet \left( \mathrm{\vec{OP}} \mathit{-} 2 \mathrm{\vec{OB}} \right) \mathit{=} 0 을 만족시키는 점 P\mathrm{P}가 나타내는 도형의 길이는? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [3점] ①6π6 \pi②7π7 \pi③8π8 \pi④9π9 \pi⑤10π10 \pi

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⑤

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해설

[출제의도] 벡터를 이용한 원의 방정식 이해하기 OP⃗=(x,y){\vec{\mathrm{OP}}} \mathit{=} \mathit{\left( x , y \right)}라 하자. OP⃗−OA⃗=(x+2,y){\vec{\mathrm{OP}}} - {\vec{\mathrm{OA}}} \mathit{=} \left( x + 2 , y \right) OP⃗−2OB⃗=(x−6,y−6){\vec{\mathrm{OP}}} - 2 {\vec{\mathrm{OB}}} \mathit{=} \left( \mathit{x} - 6 , y - 6 \right) (OP⃗−OA⃗)∙(OP⃗−2OB⃗)=0\left( \mathrm{\vec{OP}} - {\vec{OA}} \right) \bullet \left( {\vec{OP}} - 2 {\vec{OB}} \right) \mathit{=} 0에서 (x+2,y)∙(x−6,y−6)=0\left( x + 2 , y \right) \bullet \left( x - 6 , y - 6 \right) \mathit{=} 0 (x+2)(x−6)+y(y−6)=0\left( x + 2 \right) \left( x - 6 \right) + y \left( y - 6 \right) \mathit{=} 0 x2−4x−12+y2−6y=0x ^{2} - 4 x - 12 + y ^{2} - 6 y = 0 (x−2)2+(y−3)2=25\left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = 25 점 P\mathrm{P}가 나타내는 도형은 중심이 (2,3)\left( 2 , 3 \right)이고 반지름의 길이가 55인 원이다. 따라서 구하는 도형의 길이는 10π10 \pi

태그

#내적#원의 방정식

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