기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

내적 조건과 최솟값

문제

좌표평면 위의 세 점 ${\mathrm{O}} \left( 0 , 0 \right)$ , ${\mathrm{A}} \left( 3 , 4 \right)$ , ${\mathrm{B}} \left( - 3 , 6 \right)$ 에 대하여 점 ${\mathrm{P}}$ 가 $\left( {\vec{\mathrm{OP}}} - {\vec{\mathrm{OA}}} \right) \bullet {\vec{\mathrm{OB}}} = 0$ 을 만족시킬 때, $\left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right|$ 의 최솟값은? [3점] ① $\displaystyle \sqrt{2}$ ② $\displaystyle \sqrt{3}$ ③ $2$ ④ $\displaystyle \sqrt{5}$ ⑤ $\displaystyle \sqrt{6}$

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④

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해설

점 ${\mathrm{P}}$ 의 좌표를 $\left( x , y \right)$ 라 하면 $\left( {\vec{\mathrm{OP}}} - {\vec{\mathrm{OA}}} \right) \bullet {\vec{\mathrm{OB}}} = 0$ $\left\{ \left( x , y \right) - \left( 3 , 4 \right) \right\} \bullet \left( - 3 , 6 \right) = 0$ $- 3 \left( x - 3 \right) + 6 \left( y - 4 \right) = 0$ $x - 2 y + 5 = 0$ $\left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right|$ 의 최솟값은 점 ${\mathrm{O}} \left( 0 , 0 \right)$ 과 직선 $x - 2 y + 5 = 0$ 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 5 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 2 \right) ^{2}}} = \sqrt{5}$ 따라서 $\left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right|$ 의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{5}$

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