기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내적 조건 영역 넓이

문제

좌표평면 위에 세 점 $\mathrm{O} ( 0 , 0 ) , A ( 2 , 0 ) , B ( 0 , 2 )$ 가 있다. 점 $\mathrm{P}$ $( x , y )$ 가 두 조건 $\mathrm{\vec{PA}} \cdot \vec{PB} \leq 0$ , $\mathrm{\vec{OP}} \cdot ( \vec{OA} + \vec{OB} ) \leq 4$ 를 만족할 때, 점 $\mathrm{P}$ 가 존재하는 영역의 넓이는? [4점] ① $\pi$ ② $\displaystyle \sqrt{2} + \pi$ ③ $2 + \pi$ ④ $3 + \pi$ ⑤ $2 \pi$

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①

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해설

[출제의도] 벡터의 내적을 계산하여 부등식의 영역의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. ${\mathrm{\vec{PA}}} = ( 2 - x , - y )$ , ${\mathrm{\vec{PB}}} = ( - x , 2 - y )$ 이므로 $\mathrm{\vec{PA}} \cdot \vec{PB}$ $= x ^{2} - 2 x + y ^{2} - 2 y \leq 0$ $\therefore ( x - 1 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} \leq 2$ $\cdots$ ㉠ ${\mathrm{\vec{OP}} \cdot ( \vec{OA} + \vec{OB} )} = ( x , y ) \cdot ( 2 , 2 )$ $= 2 x + 2 y \leq 4$ $\therefore x + y \leq 2$ $\cdots$ ㉡ A(2,0) B(0,2) •(1,1)

㉠, ㉡에서 점 P가 나타내는 영역은 그림의 색칠한 부분이다. 따라서 구하는 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \pi = \pi$

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