내적 최대최소

조건 (가)에서 $4 {\vec{\mathrm{CP}}} + {\vec{\mathrm{CB}}} = {\vec{\mathrm{AB}}} + {\vec{\mathrm{AC}}}$ $4 {\vec{\mathrm{CP}}} = {\vec{\mathrm{AB}}} + {\vec{\mathrm{AC}}} - {\vec{\mathrm{CB}}}$ $4 {\vec{\mathrm{CP}}} = \left( {\vec{\mathrm{AB}}} + {\vec{\mathrm{BC}}} \right) + {\vec{\mathrm{AC}}}$ $4 {\vec{\mathrm{CP}}} = 2 {\vec{\mathrm{AC}}}$ $\therefore$ $\displaystyle {\vec{\mathrm{CP}}} = \frac{1}{2} {\vec{\mathrm{AC}}}$ 따라서 점 ${\mathrm{P}}$는 선분 ${\mathrm{AC}}$의 연장선 위에 있고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CP}}} = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{AC}}} = 2$인 점이다. 좌표평면에 점 ${\mathrm{A}}$를 원점으로 하고 선분 $\mathrm{AC}$를 $x$축 위에 놓으면 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 ${\mathrm{C}} \left( 4 , 0 \right)$, 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 ${\mathrm{P}} \left( 6 , 0 \right)$이다. 이때 점 $\mathrm{B}$를 제$1$사분면의 점이라 하고 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표를 $\left( a , b \right)$ ($b > 0$)이라 하면 조건 (나)에서 ${\vec{\mathrm{CP}}} \bullet {\vec{\mathrm{BC}}} = 1$이므로 ${\vec{\mathrm{CP}}} = {\vec{\mathrm{AP}}} - {\vec{\mathrm{AC}}} = \left( 6 , 0 \right) - \left( 4 , 0 \right) = \left( 2 , 0 \right)$ ${\vec{\mathrm{BC}}} = {\vec{\mathrm{AC}}} - {\vec{\mathrm{AB}}} = \left( 4 , 0 \right) - \left( a , b \right) = \left( 4 - a , - b \right)$ ${\vec{\mathrm{CP}}} \bullet {\vec{\mathrm{BC}}} = \left( 2 , 0 \right) \bullet \left( 4 - a , - b \right) = 2 \left( 4 - a \right)$ $\therefore 8 - 2 a = 1$, $\displaystyle a = \frac{7}{2}$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}} = 4$인 이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = a ^{2} + b ^{2} = 16$ $\displaystyle a = \frac{7}{2}$를 대입하면 $\displaystyle \left( \frac{7}{2} \right) ^{2} + b ^{2} = 16$, $\displaystyle b ^{2} = 16 - \frac{49}{4} = \frac{15}{4}$ $\displaystyle \therefore b = \frac{\sqrt{15}}{2} \left( \because b > 0 \right)$ 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{7}{2} , \frac{\sqrt{15}}{2} \right)$ 조건 (다)에서 ${\vec{\mathrm{PQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{BQ}}} = 0$이므로 점 ${\mathrm{Q}}$는 선분 ${\mathrm{PB}}$를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 선분 ${\mathrm{PB}}$의 중점을 ${\mathrm{K}}$라 하면 ${\mathrm{K}}$의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{K}} \left( \frac{19}{4} , \frac{\sqrt{15}}{4} \right)$ 원의 반지름의 길이를 $r$이라 하면 $\displaystyle r ^{2} = \left| {\vec{\mathrm{KP}}} \right| ^{2} = \left( 6 - \frac{19}{4} \right) ^{2} + \left( 0 - \frac{\sqrt{15}}{4} \right) ^{2} = \frac{25 + 15}{16} = \frac{5}{2}$ 따라서 점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 $\left( x , y \right)$라 하면 점 $\mathrm{Q}$의 자취는 중심이 $\displaystyle \left( \frac{19}{4} , \frac{\sqrt{15}}{4} \right)$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{2}}$인 원이다.

${\vec{\mathrm{AP}}} = \left( 6 , 0 \right)$, $\displaystyle {\vec{\mathrm{BQ}}} = \left( x - \frac{7}{2} , y - \frac{\sqrt{15}}{2} \right)$이므로 $\displaystyle {\vec{\mathrm{AP}}} \bullet {\vec{\mathrm{BQ}}} = 6 \left( x - \frac{7}{2} \right) = 6 x - 21$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ㉠의 최댓값과 최솟값은 점 ${\mathrm{Q}}$의 $x$좌표가 최대일 때와 최소일 때로 결정된다. 점 ${\mathrm{Q}}$가 원 위의 점이므로 $x$의 범위는 원의 중심의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{19}{4}$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{2}}$이므로 $\displaystyle \frac{19}{4} - \sqrt{\frac{5}{2}} \leq x \leq \frac{19}{4} + \sqrt{\frac{5}{2}}$ $\displaystyle \frac{19}{4} - \frac{\sqrt{10}}{2} \leq x \leq \frac{19}{4} + \frac{\sqrt{10}}{2}$ ㉠에서 최댓값 $M$은 $\displaystyle M = 6 \left( \frac{19}{4} + \frac{\sqrt{10}}{2} \right) - 21 = \frac{15}{2} + 3 \sqrt{10}$ ㉠에서 최솟값 $m$은 $\displaystyle m = 6 \left( \frac{19}{4} - \frac{\sqrt{10}}{2} \right) - 21 = \frac{15}{2} - 3 \sqrt{10}$ $\left| M \times m \right|$$\displaystyle = \left| \left( \frac{15}{2} + 3 \sqrt{10} \right) \times \left( \frac{15}{2} - 3 \sqrt{10} \right) \right|$ $\displaystyle = \left| - \frac{135}{4} \right|$ $\displaystyle = \frac{135}{4}$ 따라서 $p = 4$, $q = 135$이므로 $p + q = 4 + 135 = 139$