내분점과 외접원 넓이

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \sqrt{7}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} \mathit{=} 3 \sqrt{2}$이고 선분 $\mathrm{BC}$를 $5 : 1$로 내분하는 점이 $\mathrm{Q}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} \mathit{=} x$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{2} x$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{6} x$ 삼각형 $\mathrm{APQ}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{\sin \left( \mathrm{\angle} QAP \right)} = \frac{3 \sqrt{2}}{\sin \left( \mathrm{\angle} APQ \right)}$ 이때 $\displaystyle \sin \left( \mathrm{\angle} QAP \right) : \sin \left( \angle \mathrm{APQ} \right) = \sqrt{2} : 3$이므로 $\displaystyle \sin \left( \mathrm{\angle} QAP \right) = \mathit{\sqrt{2}} k$, $\sin \left( \mathrm{\angle} APQ \right) = \mathit{3} k$라 하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{\sqrt{2} k} = \frac{3 \sqrt{2}}{\mathit{3} k}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} \mathit{=} 2$ $2 x = 2$이므로 $x = 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} \mathit{=} 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \mathit{=} 6$ 삼각형 $\mathrm{ABQ}$에서 코사인법칙에 의하여 $\cos \left( \mathrm{\angle} ABQ \right)$$\displaystyle = \frac{\left( 2 \sqrt{7} \right) ^{2} + 5 ^{2} - \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2}}{2 \times 2 \sqrt{7} \times 5}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{7}}{4}$ $\displaystyle \cos \left( \mathrm{\angle} ABQ \right) = \frac{\sqrt{7}}{4}$이므로 $\sin ^{2} \left( \mathrm{\angle} ABQ \right) + \cos ^{2} \left( \mathrm{\angle} ABQ \right) = 1$ 에서 $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{ABQ} \right) = \frac{3}{4}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} ^{2}$$\displaystyle = \left( 2 \sqrt{7} \right) ^{2} + 6 ^{2} - 2 \times 2 \sqrt{7} \times 6 \times \cos \left( \mathrm{\angle} ABC \right)$$= 22$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \sqrt{22}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하면 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\sqrt{22}}{\sin \left( \mathrm{\angle} ABC \right)} = \mathit{2} R$, $\displaystyle \frac{\sqrt{22}}{\frac{3}{4}} = 2 R$ $\therefore$ $\displaystyle R = \frac{2 \sqrt{22}}{3}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이는 $\displaystyle \pi R ^{2} = \pi \times \left( \frac{2 \sqrt{22}}{3} \right) ^{2} = \frac{88}{9} \pi$