내분점과 외분점

좌표공간의 두 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( a , b , 6 \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( - 4 , - 2 , c \right)}$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{3 \times \left( - 4 \right) + 2 \times a}{3 + 2} , \frac{3 \times \left( - 2 \right) + 2 \times b}{3 + 2} , \frac{3 \times c + 2 \times 6}{3 + 2} \right)}$ 이때 점 $\mathrm{P}$가 $z$축 위의 점이므로 $2 a - 12 = 0$, $2 b - 6 = 0$ $\therefore$ $a = 6$, $b = 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 한편 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 외분하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 점 $\mathrm{Q}$는 $xy$평면 위의 점이므로 점 $\mathrm{Q}$의 $z$좌표가 $0$이어야 한다. $\displaystyle \frac{3 \times c - 2 \times 6}{3 - 2} = 0$ $\therefore$ $c = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡에 의하여 $a + b + c = 6 + 3 + 4 = 13$