공통수학2평면좌표AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내분점으로 두 끝점 되찾기

문제

그림과 같이 좌표평면에서 $x$ 축 위의 점 $\mathrm{A}$ 와 $y$ 축 위의 점 $\mathrm{B}$ 를 이은 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 점 $\mathrm{P} ( 3 , 4 )$ 가 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = 2 : 1$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이를 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) [3점]

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해설

$\mathrm{A} ( a , 0 )$ , $\mathrm{B} ( 0 , b )$ 라 하면 점 $\mathrm{P}$ 는 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $2 : 1$ 로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{2 \times 0 + 1 \times a}{2 + 1} , \frac{2 \times b + 1 \times 0}{2 + 1} \right)$ , 즉 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{a}{3} , \frac{2 b}{3} \right)$ 이 점이 $( 3 , 4 )$ 이므로 $\displaystyle \frac{a}{3} = 3$ , $\displaystyle \frac{2 b}{3} = 4$ 에서 $a = 9$ , $b = 6$ $\mathrm{A} ( 9 , 0 )$ , $\mathrm{B} ( 0 , 6 )$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \mathit{9}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = \mathit{6}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$

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