대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내분점 y좌표의 최소

문제

두 함수 y=2xy = 2 ^{x}, y=2−xy = 2 ^{- x}의 그래프와 직선 x=kx = k (단, k≠0k \ne 0인 실수)와의 교점을 각각 Ak\mathrm{A} _{\mathit{k}}, Bk\mathrm{B} _{\mathit{k} \mathit{}}라 하자. AkBk‾\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{k}} B _{\mathit{k}}}}를 1:21 : 2로 내분하는 점의 yy좌표의 값이 최소가 되는 kk의 값은? [4점]

①−1- 1②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③−13\displaystyle - \frac{1}{3}④−14\displaystyle - \frac{1}{4}⑤−15\displaystyle - \frac{1}{5}

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②

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해설

[출제의도] 지수함수 그래프를 이용하여 수학 내적 문제해결하기 Ak(k,2k)\mathrm{A} _{\mathit{k}} ( \mathit{k} , 2 ^{\mathit{k}} ), Bk(k,2−k)\mathrm{B} _{\mathit{k}} ( \mathit{k} , 2 ^{- \mathit{k}} )라 하면 AkBk‾\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{k}} B _{\mathit{k}}}}를 1:21 : 2로 내분하는 점의 좌표는 (k,2k+1+2−k3)\displaystyle \left( k , \frac{2 ^{k + 1} + 2 ^{- k}}{3} \right)이다. 이 때, yy좌표의 최솟값은 2k+13+2−k3≥22k+13⋅2−k3\displaystyle \frac{2 ^{k + 1}}{3} + \frac{2 ^{- k}}{3} \geq 2 \sqrt{\frac{2 ^{k + 1}}{3} \cdot \frac{2 ^{- k}}{3}}=229\displaystyle = 2 \sqrt{\frac{2}{9}} 이고 2k+13=2−k3\displaystyle \frac{2 ^{k + 1}}{3} = \frac{2 ^{- k}}{3}일 때 최솟값을 갖는다. 따라서 k=−12\displaystyle k = - \frac{1}{2}이다.

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#지수함수#산술기하평균

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