무리수 상등과 이차방정식의 연립

주어진 식을 정리하면 $\displaystyle ( x ^{2} + y - 5 ) + ( x + y - 3 ) \sqrt{2} = 0$ $x$, $y$가 유리수이므로 무리수가 서로 같을 조건에 의하여 $x ^{2} + y - 5 = 0$, $x + y - 3 = 0$ $y = 3 - x$를 대입하면 $x ^{2} - x - 2 = 0$ $( x - 2 ) ( x + 1 ) = 0$에서 $x = 2$ 또는 $x = - 1$ $x = 2$이면 $y = 1$이고 $x ^{2} + y ^{2} = 5$ $x = - 1$이면 $y = 4$이고 $x ^{2} + y ^{2} = 17$ 따라서 $x ^{2} + y ^{2}$의 최솟값은 $5$ ①