공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무리수 증명

문제

다음은 6\displaystyle \sqrt{6}이 무리수임을 이용하여 1+2−3\displaystyle 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}이 무리수임을 증명한 것이다.

[증명] 1+2−3\displaystyle 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}을 (가) 라 가정하면 1+2−3=k\displaystyle 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} = k (kk는 (가) ) 5−26=\displaystyle 5 - 2 \sqrt{6} = (나)

∴6=5−(나)2⋯㉠\displaystyle \therefore \sqrt{6} = \frac{5 - ( \text{나} )}{2} \cdots \text{㉠} ㉠의 좌변은 무리수이고 우변은 (다) 이다. 따라서 1+2−3\displaystyle 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}은 무리수이다.

이 증명에서 (가) ~ (다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [3점]

(가) (나) (다)
①유리수(k−1)2( k - 1 ) ^{2}유리수
②유리수(k−1)2( k - 1 ) ^{2}무리수
③유리수k2k ^{2}유리수
④무리수(k−1)2( k - 1 ) ^{2}무리수
⑤무리수k2k ^{2}유리수
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①

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해설

[출제의도] 실수의 성질을 이용하여 무리수 증명하기 1+2−3\displaystyle 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}을 유리수 라 가정하면 1+2−3=k\displaystyle 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} = k ( kk는 유리수 ) 2−3=k−1\displaystyle \sqrt{2} - \sqrt{3} = k - 1 양변을 제곱하면 5−26=\displaystyle 5 - 2 \sqrt{6} = (k−1)2( k - 1 ) ^{2}

∴6=5−(k−1)22⋯㉠\displaystyle \therefore \sqrt{6} = \frac{5 - ( k - 1 ) ^{2}}{2} \cdots \text{㉠} ㉠의 좌변은 무리수이고 우변은 유리수 이다. 이는 모순이므로 1+2−3\displaystyle 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}은 무리수이다.

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#귀류법#증명#무리수

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