무리수 계수 이차방정식의 다른 근

$\displaystyle x = \sqrt{2} - 1$을 대입하면 $\displaystyle ( \sqrt{2} - 1 ) ^{2} + a \sqrt{2} ( \sqrt{2} - 1 ) + b = 0$ $\displaystyle ( 3 - 2 \sqrt{2} ) + ( 2 a - a \sqrt{2} ) + b = 0$ $\displaystyle ( 2 a + b + 3 ) - ( a + 2 ) \sqrt{2} = 0$ $a , b$가 유리수이므로 $2 a + b + 3 = 0$, $a + 2 = 0$ $a = - 2$, $b = 1$ 주어진 방정식은 $\displaystyle x ^{2} - 2 \sqrt{2} x + 1 = 0$이고 근의 공식에서 $\displaystyle x = \sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 1} = \sqrt{2} \pm 1$ 따라서 $\displaystyle \beta = \sqrt{2} + 1$이므로 $\displaystyle a + b + \beta = - 2 + 1 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2}$ ④