공통수학1이차방정식과 이차함수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리수 경계가 있는 두 음근 조건

문제

이차방정식 x2+2(k−1)x+k2−5=0x ^{2} + 2 ( k - 1 ) x + k ^{2} - 5 = 0의 두 근이 모두 음수가 되도록 하는 정수 kk의 값을 구하시오. [3점]

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해설

두 근을 α,β\alpha , \beta, 판별식을 DD라 하면 (ⅰ) D4=(k−1)2−(k2−5)=−2k+6≥0\displaystyle \frac{D}{4} = ( k - 1 ) ^{2} - ( k ^{2} - 5 ) = - 2 k + 6 \geq 0에서 k≤3k \leq 3 (ⅱ) α+β=−2(k−1)<0\alpha + \beta = - 2 ( k - 1 ) < 0에서 k>1k > 1 (ⅲ) αβ=k2−5>0\alpha \beta = k ^{2} - 5 > 0에서 k←5\displaystyle k \leftarrow \sqrt{5} 또는 k>5\displaystyle k > \sqrt{5} (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 5<k≤3\displaystyle \sqrt{5} < k \leq 3 2<5<3\displaystyle 2 < \sqrt{5} < 3이므로 이를 만족하는 정수는 k=3k = 3뿐이다. 이때 방정식은 x2+4x+4=0x ^{2} + 4 x + 4 = 0이고 중근 x=−2x = - 2를 갖는다. 따라서 정수 kk의 값은 33이다.

태그

#실근의 위치#두 근이 모두 음수#판별식#무리수의 크기

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