무리식과 연속함수

조건 (가)의 식의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $0 \times f \left( 0 \right) = b$에서 $b = 0$ 조건 (가)의 식의 양변에 $x = 4$를 대입하면 $2 f \left( 4 \right) = 16 + 4 a$ 조건 (나)에 의하여 $4 = 16 + 4 a$에서 $a = - 3$ 그러므로 $\displaystyle x \geq - \frac{1}{2}$이고 $x \neq 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{x \left( x - 3 \right)}{\sqrt{2 x + 1} - 1}$ 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$에서 연속이다. 따라서 $f \left( 0 \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} f \left( x \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{x \left( x - 3 \right)}{\sqrt{2 x + 1} - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{x \left( x - 3 \right) \left( \sqrt{2 x + 1} + 1 \right)}{\left( \sqrt{2 x + 1} - 1 \right) \left( \sqrt{2 x + 1} + 1 \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{x \left( x - 3 \right) \left( \sqrt{2 x + 1} + 1 \right)}{2 x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{\left( x - 3 \right) \left( \sqrt{2 x + 1} + 1 \right)}{2}$ $\displaystyle = \frac{- 3 \times 2}{2} = - 3$