무리함수와 선분

[출제의도] 무리함수의 그래프와 선분이 만나도록 하는 자연수의 값을 구하는 문제를 해결한다.

$a$, $b$는 자연수이므로 (ⅰ) $a = 1$인 경우 함수 $\displaystyle f ( x ) = \sqrt{x} + b$의 그래프가 선분 $\mathrm{AB}$와 만나기 위해서는 $f ( 1 ) {\leq} 4$이고 $f ( 3 ) {\geq} 3$이어야 하므로 $\displaystyle \sqrt{1} + b {\leq} 4$이고 $\displaystyle \sqrt{3} + b {\geq} 3$ 따라서 $\displaystyle 3 - \sqrt{3} \leq b \leq 3$ 이를 만족시키는 자연수 $b$는 $2$, $3$이므로 순서쌍 $( a , b )$는 $( 1 , 2 )$, $( 1 , 3 )$ (ⅱ) $a = 2$인 경우 함수 $\displaystyle f ( x ) = 2 \sqrt{x} + b$의 그래프가 선분 $\mathrm{AB}$와 만나기 위해서는 $f ( 1 ) {\leq} 4$이고 $f ( 3 ) {\geq} 3$이어야 하므로 $\displaystyle 2 \sqrt{1} + b \leq 4$이고 $\displaystyle 2 \sqrt{3} + b \geq 3$ $\displaystyle 3 - 2 \sqrt{3} \leq b \leq 2$ 이를 만족시키는 자연수 $b$는 $1$, $2$이므로 순서쌍 $( a , b )$는 $( 2 , 1 )$, $( 2 , 2 )$ (ⅲ) $a = 3$인 경우 함수 $\displaystyle f ( x ) = 3 \sqrt{x} + b$의 그래프가 선분 $\mathrm{AB}$와 만나기 위해서는 $f ( 1 ) {\leq} 4$이고 $f ( 3 ) {\geq} 3$이어야 하므로 $\displaystyle 3 \sqrt{1} + b \leq 4$이고 $\displaystyle 3 \sqrt{3} + b \geq 3$ $\displaystyle 3 - 3 \sqrt{3} \leq b \leq 1$ 이를 만족시키는 자연수 $b$는 $1$이므로 순서쌍 $( a , b )$는 $( 3 , 1 )$ (ⅳ) $a \geq 4$인 경우 $f ( 1 ) = a + b > 4$이므로 함수 $\displaystyle f ( x ) = a \sqrt{x} + b$의 그래프는 선분 $\mathrm{AB}$와 만나지 않는다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수는 $2 + 2 + 1 = 5$