무리함수와 이차함수

점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표를 $a \left( a > 0 \right)$이라 하면 $f \left( a \right) = g \left( a \right)$이므로 $\displaystyle 2 \sqrt{a} = \frac{1}{4} a ^{2}$에서 $\displaystyle 4 a = \frac{1}{16} a ^{4}$, $a \neq 0$이므로 $a ^{3} = 64$ $a = 4$이고 $f \left( 4 \right) = 4$이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\left( 4 , 4 \right)$이다. 선분 ${\mathrm{OA}}$를 $1 : 3$으로 내분하는 점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1 \times 4 + 3 \times 0}{1 + 3} , \frac{1 \times 4 + 3 \times 0}{1 + 3} \right)$이므로 ${\mathrm{P}} \left( 1 , 1 \right)$ 점 ${\mathrm{P}}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선 위에 두 점 ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$가 있으므로, 두 점 ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$의 $y$좌표는 각각 $1$이다. 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표를 $\left( b , 1 \right) \left( b > 0 \right)$이라 하면 점 ${\mathrm{B}}$는 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점이므로 $f \left( b \right) = 1$ $\displaystyle 2 \sqrt{b} = 1$에서 $\displaystyle b = \frac{1}{4}$ 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표를 $\left( c , 1 \right) \left( c > 0 \right)$이라 하면 점 ${\mathrm{C}}$는 곡선 $y = g \left( x \right)$ 위의 점이므로 $g \left( c \right) = 1$ $\displaystyle \frac{1}{4} c ^{2} = 1$에서 $c = 2$ 따라서 ${\mathrm{A}} \left( 4 , 4 \right)$, $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( \frac{1}{4} , 1 \right)$, ${\mathrm{C}} \left( 2 , 1 \right)$이므로 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 2 - \frac{1}{4} \right) \times \left( 4 - 1 \right) = \frac{21}{8}$