무리함수 조각함수 교점

(ⅰ) $b \leq 0$일 때 $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} \sqrt{- x + a} & & ( x \leq a ) \\ - \sqrt{x - a} & & ( x > a ) \end{cases}$ 이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

그림과 같이 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수는 항상 $\mathrm{1}$이므로 $h ( t ) = 1$ 그러므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $b > 0$일 때 $\displaystyle 0 = \sqrt{- x + a} - b$에서 $x = a - b ^{2}$이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$x \leq a - b ^{2}$이면 $f ( x ) \geq 0$이므로 $\displaystyle g \left( x \right) = \left| f \left( x \right) \right| + b = f \left( x \right) + b = \sqrt{- x + a}$ $a - b ^{2} < x \leq a$이면 $f ( x ) < 0$이므로 $\displaystyle g \left( x \right) = \left| f \left( x \right) \right| + b = - f \left( x \right) + b = - \sqrt{- x + a} + 2 b$ $x > a$일 때 $g \left( x \right)$$= - f \left( - x + 2 a \right) + | b |$ $\displaystyle = - \sqrt{- \left( - x + 2 a \right) + a} + b + | b |$ $\displaystyle = - \sqrt{x - a} + 2 b$ 그러므로 함수 $g ( x )$는 다음과 같다. $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} \sqrt{- x + a} & & \left( x \leq a - b ^{2} \right) \\ - \sqrt{- x + a} + 2 b & & \left( a - b ^{2} < x \leq a \right) \\ - \sqrt{x - a} + 2 b & & \left( x > a \right) \end{cases}}$

$h ( t ) \leq 3$이고 $h ( \alpha ) \times h ( \beta ) = 4$에서 $h ( \alpha ) = h ( \beta ) = 2$이므로 조건 (가)를 만족시키는 실수 $\alpha$, $\beta$의 값은 $\alpha = b$, $\beta = 2 b$이다. 조건 (나)에서 $x$에 대한 방정식 $\left\{ g ( x ) - \alpha \right\} \left\{ g ( x ) - \beta \right\} = 0$의 서로 다른 실근은 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 두 직선 $y = \alpha$, $y = \beta$의 교점의 $x$좌표이므로 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 $\mathrm{4}$이다. 그러므로 $x$에 대한 방정식 $\left\{ g ( x ) - \alpha \right\} \left\{ g ( x ) - \beta \right\} = 0$의 서로 다른 실근 중 최솟값은 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = 2 b$의 교점의 $x$좌표 중 $a$가 아닌 값이고, 최댓값은 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = b$의 교점의 $x$좌표 중 $a - b ^{2}$이 아닌 값이다. 즉, $- 30 < a - b ^{2} < a < 15$이고 $g ( - 30 ) = 2 b$, $g ( 15 ) = b$이다.

$g ( - 30 ) = 2 b$에서 $\displaystyle \sqrt{30 + a} = 2 b$, $30 + a = 4 b ^{2}$ $a - 4 b ^{2} = - 30$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $g ( 15 ) = b$에서 $\displaystyle - \sqrt{15 - a} + 2 b = b$, $\displaystyle - \sqrt{15 - a} = - b$, $15 - a = b ^{2}$ $a + b ^{2} = 15$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이므로 ㉠, ㉡을 연립하면 $a = 6$, $b = 3$이고 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} \sqrt{- x + 6} & & \left( x \leq - 3 \right) \\ - \sqrt{- x + 6} + 6 & & \left( - 3 < x \leq 6 \right) \\ - \sqrt{x - 6} + 6 & & \left( x > 6 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle \left\{ g ( 150 ) \right\} ^{2} = ( - \sqrt{150 - 6} + 6 ) ^{2} = 36$