대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

문자열 개수 점화 관계

문제

중복을 허용하여 $a , b , c$ 로 만든 $n$ 자리 문자열 중에서 다음 조건을 만족시키는 문자열의 개수를 $a _{n}$ 이라 하자. (가) 첫 문자와 끝 문자는 모두 $a$ 이다. (나) $b$ 와 $c$ 바로 뒤에는 $a$ 만 올 수 있다.

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $a _{1} = 1 , a _{2} = 1$ 이고, 점화 관계 $a _{n+2} = a _{n+1} + pa _{n} ( n \geq 1 )$ 을 만족시킨다. $a _{7} = q$ 일 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. [4점]

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45

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해설

$a _{1=1} , a _{2} = 1$ 이고 $3$ 자리 문자열 중 조건을 만족하는 문자열은 $aaa , aba , aca$ 이므로 $a _{3} = 3$ 이므로 $a _{3} = a _{2} + p a _{1} = 1 + p = 3$ $\therefore p = 2$ 따라서 $a _{n+2} = a _{n+1} + 2 a _{n}$ 이고 $a _{7} = a _{6} + 2 a _{5} = \cdots = 21 a _{2} + 22 a _{1} = 43 = q$ $\therefore p + q = 2 + 43 = 45$

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