물통 반지름 등차수열

[출제의도] 등차수열을 이용하여 물통을 채우는 시간을 구한다. 물통 $\mathrm{A} , B , C , D$의 반지름의 길이는 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $a , a + d , a + 2 d , a + 3 d$ (단, $a$, $d$는 양의 실수) 라 하고, 물통의 높이를 $h$라 하자. 물통 $\mathrm{A} , B , C , D$의 부피는 각각 $a ^{2} h \pi$, $( a + d ) ^{2} h \pi$, $( a + 2 d ) ^{2} h \pi$, $( a + 3 d ) ^{2} h \pi$ 이고, 물통에 매분 $\pi$ L의 물을 넣어 물통 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$를 채우는 데 걸리는 시간은 각각 $\displaystyle \frac{a ^{2} h \pi}{\pi} = a ^{2} h$ $\displaystyle \frac{( a + d ) ^{2} h \pi}{\pi} = ( a + d ) ^{2} h$ $\displaystyle \frac{( a + 2 d ) ^{2} h \pi}{\pi} = ( a + 2 d ) ^{2} h$ $\displaystyle \frac{( a + 3 d ) ^{2} h \pi}{\pi} = ( a + 3 d ) ^{2} h$ 이다. 조건 (가), (나)에 의해 ${( a + d ) ^{2} h} = {a ^{2} h} + 8$ ${( a + 2 d ) ^{2} h} = {( a + d ) ^{2} h} + 16$ 두 식을 연립하면 ${adh} = 2 ,$ ${d ^{2} h} = 4$이다. $a$와 $d$는 모두 양수이므로 $d = 2 a$, $\displaystyle h = \frac{1}{a ^{2}}$ 따라서 물통 $\mathrm{D}$를 채우는 데 걸리는 시간은 ${( a + 3 d ) ^{2} h}$$\displaystyle = \left( 7 a \right. ) ^{2} \cdot \frac{1}{a ^{2}} = 49$(분) [다른 풀이] 물통 $\mathrm{A}$를 채우는 데 걸리는 시간을 $t$(분)이라 놓자. 물통의 높이와 물통에 들어가는 물의 양이 일정하므로 물통의 부피의 비는 밑면의 넓이의 비와 같고 각 물통을 채우는 데 걸리는 시간의 비와 같다. 따라서 $\displaystyle \frac{( a + d ) ^{2}}{a ^{2}} = \frac{t + 8}{t}$ … ㉠ $\displaystyle \frac{( a + 2 d ) ^{2}}{( a + d ) ^{2}} = \frac{t + 24}{t + 8}$ … ㉡ ㉠, ㉡을 변끼리 곱하면 $\displaystyle \frac{( a + 2 d ) ^{2}}{a ^{2}} = \frac{t + 24}{t}$ … ㉢ ㉠, ㉢에서 $\displaystyle 3 \times \frac{( a + d ) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{( a + 2 d ) ^{2}}{a ^{2}}$$\displaystyle = \frac{3 ( t + 8 )}{t} - \frac{t + 24}{t}$ $\displaystyle \frac{2 a ^{2} + 2 ad - d ^{2}}{a ^{2}} = 2$ $2 a ^{2} + 2 ad - d ^{2} = 2 a ^{2}$ $d ( 2 a - d ) = 0$ $d \ne 0$이므로 $d = 2 a$ ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{9 a ^{2}}{a ^{2}} = \frac{t + 8}{t}$ $\displaystyle 9 = \frac{t + 8}{t}$ ∴ $t = 1$ 물통 $\mathrm{D}$를 채우는 데 걸리는 시간을 $t _{\mathrm{D}}$라 하면 $\displaystyle \frac{t _{\mathrm{D}}}{t} = \frac{( a + 3 d ) ^{2}}{a ^{2}}$$= 49$ ∴ $t _{\mathrm{D}} = 49$