공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

무게중심과 점과 직선 사이 거리

문제

좌표평면의 제11사분면에 있는 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}와 원점 O\mathrm{O}에 대하여 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 무게중심 G\mathrm{G}의 좌표는 (8,4)\left( 8 , 4 \right)이고, 점 B\mathrm{B}와 직선 OA\mathrm{OA} 사이의 거리는 62\displaystyle 6 \sqrt{2}이다. 다음은 직선 OB\mathrm{OB}의 기울기가 직선 OA\mathrm{OA}의 기울기보다 클 때, 직선 OA\mathrm{OA}의 기울기를 구하는 과정이다.

선분 OA\mathrm{OA}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하자.

점 G\mathrm{G}가 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 무게중심이므로 BG‾:GM‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BG}}} : {\overline{\mathrm{GM}}}=2:1= 2 : 1 이고, 점 B\mathrm{B}와 직선 OA\mathrm{OA} 사이의 거리가 62\displaystyle 6 \sqrt{2}이므로 점 G\mathrm{G}와 직선 OA\mathrm{OA} 사이의 거리는 □(가){\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}}이다. 직선 OA\mathrm{OA}의 기울기를 mm이라 하면 점 G\mathrm{G}와 직선 OA\mathrm{OA} 사이의 거리는 □(나)m2+(−1)2\displaystyle \frac{{\square {{}^{} ( \text{나} ) ^{}}}}{\sqrt{m ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} 이고 □(가){\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}}와 같다. 즉, □(나){\square {{}^{} ( \text{나} ) ^{}}}=□(가)×m2+1\displaystyle = {\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}} \times \sqrt{m ^{2} + 1} 이다. 양변을 제곱하여 mm의 값을 구하면 m=□m = {\square {}} 또는 m=□m = {\square {}} 이다. 이때 직선 OG\mathrm{OG}의 기울기가 12\displaystyle \frac{1}{2}이므로 직선 OA\mathrm{OA}의 기울기는 □(다){\square {{}^{} ( \text{다} ) ^{}}}이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 pp, qq라 하고, (나)에 알맞은 식을 f(m)f ( m )이라 할 때, f(q)p2\displaystyle \frac{f ( q )}{p ^{2}}의 값은? [4점] ①27\displaystyle \frac{2}{7}②514\displaystyle \frac{5}{14}③37\displaystyle \frac{3}{7}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤47\displaystyle \frac{4}{7}

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②

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해설

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 기울기를 추론한다. 선분 OA\mathrm{OA}의 중점을 M\mathrm{M}, 두 점 B\mathrm{B}, G\mathrm{G}에서 직선 OA\mathrm{OA}에 내린 수선의 발을 각각 D\mathrm{D}, E\mathrm{E}라 하자.

점 G\mathrm{G}가 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 무게중심이므로 BG‾:GM‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BG}}} : {\overline{\mathrm{GM}}}=2:1= 2 : 1 이고, 삼각형 MBD\mathrm{MBD}와 삼각형 MGE\mathrm{MGE}는 서로 닮음이므로 BD‾:GE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} : {\overline{\mathrm{G} \mathrm{E}}}=3:1= 3 : 1 이다. 점 B\mathrm{B}와 직선 OA\mathrm{OA} 사이의 거리 BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}가 62\displaystyle 6 \sqrt{2}이므로 GE‾=13×62\displaystyle {\overline{\mathrm{G} \mathrm{E}}} = \frac{1}{3} \times 6 \sqrt{2}=□22\displaystyle = {\square {{}^{} 2 {\sqrt{2}} ^{}}} 직선 OA\mathrm{OA}의 기울기를 mm이라 하면 직선 OA\mathrm{OA}의 방정식은 y=mxy = mx, 즉 mx−y=0mx - y = 0이므로 점 G\mathrm{G}와 직선 OA\mathrm{OA} 사이의 거리는 □∣8m−4∣m2+(−1)2\displaystyle \frac{{\square {{}^{} \left| 8 m - 4 \right| ^{}}}}{\sqrt{m ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} 이고 □22\displaystyle {\square {{}^{} 2 {\sqrt{2}} ^{}}}와 같다. 즉, □∣8m−4∣m2+(−1)2\displaystyle \frac{{\square {{}^{} \left| 8 m - 4 \right| ^{}}}}{\sqrt{m ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}}=□22\displaystyle = {\square {{}^{} 2 {\sqrt{2}} ^{}}}, □∣8m−4∣=□22×m2+1\displaystyle {\square {{}^{} \left| 8 m - 4 \right| ^{}}} = {\square {{}^{} 2 {\sqrt{2}} ^{}}} \times \sqrt{m ^{2} + 1} 이다. 양변을 제곱하면 (8m−4)2=8(m2+1)\left( 8 m - 4 \right) ^{2} = 8 \left( m ^{2} + 1 \right) 7m2−8m+1=07 m ^{2} - 8 m + 1 = 0 (7m−1)(m−1)=0\left( 7 m - 1 \right) \left( m - 1 \right) = 0 m=17\displaystyle m = \frac{1}{7} 또는 m=1m = 1 이때 직선 OG\mathrm{OG}의 기울기가 12\displaystyle \frac{1}{2}이므로 m<12\displaystyle m < \frac{1}{2}을 만족시키는 직선 OA\mathrm{OA}의 기울기는 □17\displaystyle {\square {\frac{{} ^{} 1 ^{}}{7}}}이다. 따라서 p=22\displaystyle p = 2 \sqrt{2}, q=17\displaystyle q = \frac{1}{7}, f(m)=∣8m−4∣f ( m ) = \left| 8 m - 4 \right|이므로 f(q)p2\displaystyle \frac{f ( q )}{p ^{2}}=∣8×17−4∣(22)2\displaystyle = \frac{\left| 8 \times \frac{1}{7} - 4 \right|}{\left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2}}=2078\displaystyle = \frac{\frac{20}{7}}{8}=514\displaystyle = \frac{5}{14}

태그

#점과 직선 사이의 거리#무게중심#빈칸 추론

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