무게중심과 제곱 합의 최솟값

다음은 「삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라 하면 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} + \overline{\mathrm{PC}} ^{2} = \overline{\mathrm{GA}} ^{2} + \overline{\mathrm{GB}} ^{2} + \overline{\mathrm{GC}} ^{2} + 3 \overline{\mathrm{PG}} ^{2}$ 이다.」를 좌표를 이용하여 증명한 것이다.

점 $\mathrm{G}$가 원점이 되도록 좌표평면을 잡고 $\mathrm{A} ( a _{1} , a _{2} )$, $\mathrm{B} ( b _{1} , b _{2} )$, $\mathrm{C} ( c _{1} , c _{2} )$라 하자. 원점이 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이므로 $a _{1} + b _{1} + c _{1} =$ (가) , $a _{2} + b _{2} + c _{2} =$ (가) 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( x , y )$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} + \overline{\mathrm{PC}} ^{2}$ $= ( x - a _{1} ) ^{2} + ( y - a _{2} ) ^{2} + ( x - b _{1} ) ^{2} + ( y - b _{2} ) ^{2} + ( x - c _{1} ) ^{2} + ( y - c _{2} ) ^{2}$ $= 3 ( x ^{2} + y ^{2} ) - 2 x ( a _{1} + b _{1} + c _{1} ) - 2 y ( a _{2} + b _{2} + c _{2} ) + ( a _{1} ^{2} + a _{2} ^{2} ) + ( b _{1} ^{2} + b _{2} ^{2} ) + ( c _{1} ^{2} + c _{2} ^{2} )$ $=$ (나) $\displaystyle \overline{\mathrm{PG}} ^{2} + \overline{\mathrm{GA}} ^{2} + \overline{\mathrm{GB}} ^{2} + \overline{\mathrm{GC}} ^{2}$

위의 (나)에 알맞은 수를 $k$라 하자. 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A} ( 1 , 7 )$, $\mathrm{B} ( - 2 , 1 )$, $\mathrm{C} ( 7 , 1 )$과 $x$축 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} + \overline{\mathrm{PC}} ^{2}$의 최솟값을 $m$이라 할 때, $k + m$의 값을 구하시오. [4점]