대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무게중심 지수함수

문제

그림과 같이 두 지수함수 $y = 2 ^{x}$ , $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$ 의 그래프의 교점을 $\mathrm{A}$ 라 하고 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 무게중심이 $( 0 , 3 )$ 이 되도록 각각의 그래프 위에 $\mathrm{B} , C$ 를 잡는다. 점 $\mathrm{B}$ 의 $x$ 좌표를 $a$ 라 할 때, $a$ 의 값을 구하시오. [3점]

$y = 2 ^{x}$ $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$

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해설

점 $\mathrm{B} , C$ 의 $x$ 좌표를 각각 $a , b$ 라 놓으면 ${\mathrm{B}} ( a , 2 ^{a} )$ , $\displaystyle {\mathrm{C}} \left( b , {\left( \frac{1}{2} \right)} ^{b} \right)$ 가 된다. 따라서 $\mathrm{A} ( 0 , 1 )$ , ${\mathrm{B}} ( a , 2 ^{a} )$ , $\displaystyle {\mathrm{C}} \left( b , \left( \frac{1}{2} \right) ^{b} \right)$ 을 꼭지점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 무게중심이 $( 0 , 3 )$ 이므로 $\displaystyle \frac{0 + a + b}{3} = 0$ 에서 $b = - a$ 이고 $\displaystyle \frac{1 + 2 ^{a} + 2 ^{- b}}{3} = 3$ 에서 ${1 + 2 ^{a} + 2 ^{- b}} = 9$ ${2 ^{a} + 2 ^{a}} = 8$ , $2 \cdot {2 ^{a}} = 8$ ∴ $a = 2$

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