미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무게중심 정사각형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 33인 정사각형을 A1A _{1}, 그 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 정사각형 A1A _{1}에 대각선을 그어 만들어진 44개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 A2A _{2}, 그 넓이를 S2S _{2}라 하자. 같은 방법으로 정사각형 A2A _{2}에 대각선을 그어 만들어진 44개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 A3A _{3}, 그 넓이를 S3S _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 (n−1)( n - 1 ) 번째 얻은 정사각형을 AnA _{n}, 그 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

①647\displaystyle \frac{64}{7}②212\displaystyle \frac{21}{2}③727\displaystyle \frac{72}{7}④272\displaystyle \frac{27}{2}⑤817\displaystyle \frac{81}{7}

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⑤

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해설

그림과 같이 대각선의 교점을 O\mathrm{O}, 무게중심을 G1\mathrm{G} _{1}, G2\mathrm{G} _{2}라고 하면 P,G1,O,G2,Q\mathrm{P} , G _{1} , O , G _{2} , Q는 일직선 위에 있고, P‾Q=3\displaystyle \overline{\mathrm{P}} Q = 3이다. G1G2‾=23P‾Q=2\displaystyle \overline{\mathrm{G} _{1} \mathrm{G} _{2}} = \frac{2}{3} \overline{\mathrm{P}} Q = 2 A1\mathrm{A} _{1}과 A2\mathrm{A} _{2}의 대각선의 길이의 비가 32:2\displaystyle 3 \sqrt{2} : 2이므로 넓이의 비는 (32)2:22\displaystyle ( 3 \sqrt{2} ) ^{2} : 2 ^{2}이다. 첫째항 S1=9S _{1} = 9이고, 공비 r=29\displaystyle r = \frac{2}{9}이므로 ∑n=1∞Sn=91−29=817\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty _{S_{n}}} = \frac{9}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{81}{7}

태그

#무한등비급수#무게중심#도형

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