몫과 나머지 조건

다항식 $x ^{3} + a x ^{2} + b x - 4$를 $x + 1$로 나누었을 때의 몫은 $Q ( x )$이고 나머지는 $\mathrm{3}$이므로 $x ^{3} + a x ^{2} + b x - 4 = ( x + 1 ) Q ( x ) + 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이다. ㉠의 양변에 $x = - 1$을 대입하면 $- 1 + a - b - 4 = 3$, $a - b = 8$이다. $\left( x ^{2} + a \right) Q ( x - 2 )$가 $x - 2$로 나누어떨어지므로 나머지정리에 의해 $( 4 + a ) Q ( 0 ) = 0$이다. ㉠의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $- 4 = Q ( 0 ) + 3$, $Q \left( 0 \right) = - 7 \ne 0$이므로 $4 + a = 0$, $a = - 4$이고 $a - b = 8$이므로 $b = - 12$이다. ㉠의 양변에 $x = 1$을 대입하면 $1 - 4 - 12 - 4 = 2 Q ( 1 ) + 3$이다. 따라서 $Q \left( 1 \right) = - 11$이다.