대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

미사일 명중 속력

문제

$6 \mathrm{km}$ 떨어진 두 기지 $A , B$ 가 있다. $A$ 기지에서 전투기가 이륙하여 $0.1 ( \mathrm{km} /$ 초 $)$ 의 속력으로 $B$ 기지의 상공을 날아간다. 전투기가 이륙하여 $1$ 분 $27$ 초 후에 레이더가 이 사실을 탐지하고 $B$ 기지에서 지면과 $60 ^\circ$ 의 각을 이루도록 하여 $v ( \mathrm{km} /$ 초 $)$ 의 속력으로 미사일을 발사한다. 미사일이 발사된 지 $3$ 초 후에 전투기를 명중시키는 시뮬레이션 게임을 제작하려고 할 때, $v$ 의 값은? (단, 전투기와 미사일은 일정한 속도로 직선운동을 한다.) [4점] $60 ^\circ$

① $\displaystyle - 1 + \sqrt{2}$ ② $\displaystyle - 1 + \sqrt{3}$ ③ $\displaystyle - 1 + \sqrt{5}$ ④ $\displaystyle - 1 + \sqrt{6}$ ⑤ $\displaystyle - 1 + 2 \sqrt{2}$

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④

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해설

[출제의도] 코사인제이법칙을 이해하고 활용하기 $A$ 기지에서 발진한 전투기의 속력은 $0.1 \mathrm{km} / \text{초}$ 이므로 아래 그림과 같이 발사 후 $3$ 초가 지난 뒤 명중하므로 총 $90$ 초의 시간이 걸린다. $\displaystyle \overline{AC} = 9 ( \mathrm{km} )$ , $\displaystyle \overline{BC} = 3 v ( \mathrm{km} )$ , $\angle ABC = 120 ^\circ$ 이다. 코사인법칙에 의하여 $9 ^{2} = 6 ^{2} + ( 3 v ) ^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 v \cdot \cos 120 ^\circ$ $\therefore v ^{2} + 2 v - 5 = 0$ $v > 0$ 이므로 $\displaystyle v = - 1 + \sqrt{6} ( \mathrm{km} / \text{초} )$

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