미분가능성과 절댓값

$\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} \left| x ^{2} + ax + b \right| - x ^{2} & & \left( x \leq 0 \right) \\ \left( x ^{2} + ax + b \right) ^{2} + x ^{3} & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ 구간 $\left( 0 , \infty \right)$에서 함수 $g \left( x \right)$는 미분가능하므로 조건 (가)에 의하여 $b \leq 0$ (ⅰ) $b = 0$인 경우 $f \left( x \right) = x ^{2} + ax = x \left( x + a \right)$ $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} \left| x \left( x + a \right) \right| - x ^{2} & & \left( x \leq 0 \right) \\ x ^{2} \left( x + a \right) ^{2} + x ^{3} & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ ① $a > 0$인 경우 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} ax & & \left( x \leq - a \right) \\ - 2 x ^{2} - ax & & \left( - a < x \leq 0 \right) \\ x ^{2} \left( x + a \right) ^{2} + x ^{3} & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ $x = - a$에서의 미분가능성을 조사하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - a -} \frac{g \left( x \right) - g \left( - a \right)}{x - \left( - a \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - a -} \frac{ax - \left( - a ^{2} \right)}{x + a} = a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - a +} \frac{g \left( x \right) - g \left( - a \right)}{x - \left( - a \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - a +} \frac{\left( - 2 x ^{2} - ax \right) - \left( - a ^{2} \right)}{x + a}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - a +} \frac{- \left( 2 x - a \right) \left( x + a \right)}{x + a} = 3 a$ $a > 0$이므로 $a \neq 3 a$ 함수 $g \left( x \right)$는 $x = - a$에서 미분가능하지 않으므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. ② $a = 0$인 경우 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} 0 & & \left( x \leq 0 \right) \\ x ^{4} + x ^{3} & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ $x = 0$에서의 미분가능성을 조사하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \frac{0 - 0}{x} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \frac{x ^{4} + x ^{3} - 0}{x} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}$ 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 0$에서 미분가능하므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. ③ $a < 0$인 경우 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} ax & & \left( x \leq 0 \right) \\ x ^{2} \left( x + a \right) ^{2} + x ^{3} & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ $x < 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) = ax \neq 0$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $b < 0$인 경우 조건 (가)에 의하여 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 0$에서 미분가능하므로 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g \left( x \right) = g \left( 0 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g \left( x \right) = \left| b \right| = - b$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g \left( x \right) = b ^{2}$ $g \left( 0 \right) = \left| b \right| = - b$ 이므로 $- b = b ^{2}$ $b < 0$이므로 $b = - 1$이고, 함수 $g \left( x \right)$는 $x = - 1$에서만 미분가능하지 않다. $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} \left| x ^{2} + ax - 1 \right| - x ^{2} & & \left( x \leq 0 \right) \\ \left( x ^{2} + ax - 1 \right) ^{2} + x ^{3} & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ 방정식 $x ^{2} + ax - 1 = 0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha$, $\beta \left( \alpha < \beta \right)$라 하면, 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha \beta = - 1$이므로 $\alpha < 0 < \beta$ $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} ax - 1 & & \left( x \leq \alpha \right) \\ - 2 x ^{2} - ax + 1 & & \left( \alpha < x \leq 0 \right) \\ \left( x ^{2} + ax - 1 \right) ^{2} + x ^{3} & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \frac{\left( - 2 x ^{2} - ax + 1 \right) - 1}{x}$$= - a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \frac{\left\{ \left( x ^{2} + ax - 1 \right) ^{2} + x ^{3} \right\} - 1}{x}$$= - 2 a$ 에서 $- a = - 2 a$, $a = 0$ $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} \left| x ^{2} - 1 \right| - x ^{2} & & \left( x \leq 0 \right) \\ \left( x ^{2} - 1 \right) ^{2} + x ^{3} & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ 따라서 $\displaystyle g \left( - \frac{1}{2} \right) + g \left( 3 \right) = \frac{1}{2} + 91 = \frac{183}{2}$ [참고] $f \left( x \right) = x ^{2} - 1$ $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} - 1 & & \left( x \leq - 1 \right) \\ - 2 x ^{2} + 1 & & \left( - 1 < x \leq 0 \right) \\ x ^{4} + x ^{3} - 2 x ^{2} + 1 & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.