미분가능성 보기

[출제의도] 함수의 미분가능성 추론하기 ㄱ. $xf ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} x ^{2} & ( x \geq 0 ) \\ - x ^{2} & ( x < 0 ) \end{cases}}$이므로 $xf ( x ) = h _{1} ( x )$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{h _{1} ( x ) - h _{1} ( 0 )}{x - 0}} = \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{x ^{2}}{x}} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{h _{1} ( x ) - h _{1} ( 0 )}{x - 0}} = \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{- x ^{2}}{x}} = 0$ $\therefore h _{1}' ( 0 ) = 0$ 함수 $xf ( x )$는 $x = 0$에서 미분가능하다. ㄴ. $f ( x ) g ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} 2 x ^{2} + x & ( x \geq 0 ) \\ x ^{2} + x & ( x < 0 ) \end{cases}}$이므로 $f ( x ) g ( x ) = h _{2} ( x )$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{h _{2} ( x ) - h _{2} ( 0 )}{x - 0}} = \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{2 x ^{2} + x}{x}} = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{h _{2} ( x ) - h _{2} ( 0 )}{x - 0}} = \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{x ^{2} + x}{x}} = 1$ $\therefore h _{2}' ( 0 ) = 1$ 함수 $f ( x ) g ( x )$는 $x = 0$에서 미분가능하다. ㄷ. $\displaystyle f ( x ) - g ( x ) = {\begin{cases} - x - 1 & ( x \geq 0 ) \\ 1 & ( x < 0 ) \end{cases}}$이고 $x \geq 0$에서 $- x - 1 < 0$이므로 $\displaystyle | f ( x ) - g ( x ) | = {\begin{cases} x + 1 & ( x \geq 0 ) \\ 1 & ( x < 0 ) \end{cases}}$ $| f ( x ) - g ( x ) | = h _{3} ( x )$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{h _{3} ( x ) - h _{3} ( 0 )}{x - 0}} = \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{( x + 1 ) - 1}{x}} = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{h _{3} ( x ) - h _{3} ( 0 )}{x - 0}} = \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{1 - 1}{x}} = 0$ 함수 $\left| f ( x ) - g ( x ) \right|$는 $x = 0$에서 미분가능 하지 않다. 따라서 $x = 0$에서 미분가능한 함수는 ㄱ, ㄴ