미분가능성

함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $x = 1$에서 미분가능해야 한다. (ⅰ) $x = 1$에서 연속 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\left( ax ^{2} + 1 \right. ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\left( x ^{3} + bx + 1 \right) = f \left( 1 \right)}}$$a = b + 1$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ (ⅱ) $x = 1$에서 미분가능 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{ax ^{2} + 1 - \left( a + 1 \right)}{x - 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {a \left( x + 1 \right)} = 2 a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{x ^{3} + bx + 1 - \left( b + 2 \right)}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\left( x ^{2} + x + b + 1 \right)} = b + 3$ $2 a = b + 3$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $a = 2$, $b = 1$ $\therefore$ $f' \left( 1 \right) = 4$