미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

미분가능한 연결

문제

다음 그림은 함수 $y = 1$ 과 함수 $y = 0$ 의 그래프의 일부이다. 두 점 $\mathrm{A} ( 0 , 1 )$ , $\mathrm{B} ( 1 , 0 )$ 사이를 $0 \leq x \leq 1$ 에서 정의된 함수 $y = a {x} ^{3} + b {x} ^{2} + c {x} + 1$ 의 그래프를 이용하여 연결하였다. 이렇게 연결된 그래프 전체를 나타내는 함수가 구간 $\left( - \infty , \infty \right)$ 에서 미분가능하도록 상수 $a , b , c$ 의 값을 정할 때, $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

$( - \infty , \infty )$ 에서 미분가능하려면 $x = 0 , 1$ 에서 연속이고 미분가능이어야 한다. 함수 $y = ax ^{3} + bx ^{2} + c x + 1$ 는 점 $( 0 , 1 )$ 을 지나므로 $x = 0$ 에서 연속이다. $x = 1$ 에서 연속이려면 $0 = a + b + c + 1$ $\therefore a + b + c = - 1$ $y' = 3 ax ^{2} + 2 bx + c$ ⅰ) $x = 0$ 에서 미분가능하려면 $0 = c$ ⅱ) $x = 1$ 에서 미분가능하려면 $3 a + 2 b + c = 0$ $\displaystyle \therefore {\begin{cases} a + b = - 1 \\ 3 a + 2 b = 0 \end{cases}}$ $\therefore a = 2 , b = - 3$ $\therefore a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 13$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = 13$

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