미분가능한 함수 보기

[출제의도] 함수의 미분가능성과 그래프를 활용하여 도형의 넓이를 추론한다. 함수 $f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 $f ( x )$는 $x = k$에서 미분가능하다. 이때 함수 $f ( x )$는 $x = k$에서 연속이므로 $f ( k )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k -} {f ( x )}$$= ak$ 한편, 함수 $f ( x )$가 $x = k$에서 미분가능하므로 $f' ( k )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k -} {\frac{f ( x ) - f ( k )}{x - k}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k -} {\frac{ax - ak}{x - k}}$$= a$ ㄱ. $f' ( k )$$= a$이고 $a = 1$이므로 $f' ( k ) = 1$이다. (참) ㄴ. $g ( x ) = \mathit{-} x ^{2} + 4 bx - 3 b ^{2}$이라 하자. 직선 $y = ax$는 원점에서 곡선 $y = g ( x )$에 그은 기울기가 양수인 접선 중 하나이고, 접점의 좌표는 $\left( k , g ( k ) \right)$이다. $g' ( x ) = \mathit{-} 2 x + 4 b$이므로 곡선 $y = g ( x )$ 위의 점 $\left( k , g ( k ) \right)$에서의 접선의 방정식은 $y - \left( - k ^{2} + 4 bk - 3 b ^{2} \right)$$= \left( - 2 k + 4 b \right) \left( x - k \right)$ 이 직선이 원점을 지나므로 $0 - \left( - k ^{2} + 4 bk - 3 b ^{2} \right)$$= \left( - 2 k + 4 b \right) \left( 0 - k \right)$ $k ^{2} - 3 b ^{2} = 0$ $k > 0$, $b > 0$이므로 $\displaystyle k = \sqrt{3} b$ $k = 3$이므로 $\displaystyle b = \sqrt{3}$이고 $a$$= g' ( k )$$= \mathit{-} 2 k + 4 b$$\displaystyle = \left( 4 - 2 \sqrt{3} \right) b$ $\displaystyle = \mathit{-} 6 + 4 \sqrt{3}$ (참) ㄷ. ㄴ에서 $f ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} \begin{aligned} \left( 4 - 2 \sqrt{3} \right) bx \\ \end{aligned} & \begin{aligned} \left( x < \sqrt{3} b \right) \\ \end{aligned} \\ - x ^{2} + 4 bx - 3 b ^{2} & \left( x \geq \sqrt{3} b \right) \end{cases}}$ 이고 $f' ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} \begin{aligned} \left( 4 - 2 \sqrt{3} \right) b \\ \end{aligned} & \begin{aligned} \left( x < \sqrt{3} b \right) \\ \end{aligned} \\ - 2 x + 4 b & \left( x \geq \sqrt{3} b \right) \end{cases}}$ $f ( k ) = f' ( k )$에서 $\displaystyle f ( \sqrt{3} b ) = f' ( \sqrt{3} b )$이므로 $\displaystyle - 3 b ^{2} + 4 \sqrt{3} b ^{2} - 3 b ^{2}$$\displaystyle = \mathit{-} 2 \sqrt{3} b + 4 b$ 따라서 $\displaystyle b = \frac{\sqrt{3}}{3}$이고 $f ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} \begin{aligned} \frac{4 \sqrt{3} - 6}{3} x \\ \end{aligned} & \begin{aligned} \left( x < 1 \right) \\ \end{aligned} \\ - x ^{2} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} x - 1 & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$ 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

함수 $y = f ( x )$의 그래프와 $x$축은 $x = 0$, $\displaystyle x = \sqrt{3}$에서 만나므로 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{\sqrt{3}} {f ( x )} dx$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{4 \sqrt{3} - 6}{3}$$\displaystyle + \int _{1} ^{\sqrt{3}} {\left( - x ^{2} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} x - 1 \right)} dx$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3} - 3}{3} + \left[ - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x ^{2} - x \right] _{1} ^{\sqrt{3}}$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3} - 3}{3} + \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3}$$\displaystyle = \frac{1}{3}$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.